DDG Integration

Integration

今天这一节内容起到了承前启后的作用。在本节之前，我们始终假设研究对象是连续可微的物体，重点在于对基础理论的理解；而从本节之后，我们将转向对离散情形下问题的探讨。

我们先简单回顾一下之前的内容：

• 外代数（Exterior algebra）：体积的语言
• k-形式（k-form）：衡量 k 维体积的工具
• 微分形式（Differential forms）：定义在空间中每一点的 k-形式
• 外导数（Exterior derivative）：对 k-形式的求导操作

在今天的课程中，我们将把这些概念统一起来，引出对 k-形式的积分定义。而通过在网格（meshes）上对微分形式进行积分，我们将自然地过渡到离散外微分几何(Discrete Exterior Calculus, DEC)的构建。

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Overview

我对积分的第一次认识，源于高中数学老师说的一句话：“把一个球（实心的）打成粉再求它的体积，这就是积分。” 所以我一直觉得积分是一种很残忍的事情，需要把完整的物体打碎——就像《剪爱》里的那句歌词：“把爱剪碎了随风飘向大海。”

Integration（积分） 是微积分中两个核心运算之一，另一个是 differentiation（微分）。它们之间通过 Fundamental Theorem of Calculus（微积分基本定理） 相互联系。在 exterior calculus（外微分代数） 中，这一定理被推广为 Stokes’ Theorem（斯托克斯定理）。

从 Riemann Sums（黎曼和）到积分

积分的基本思想是对 离散求和的精细化（refinement of discrete sums）。例如，在某一区域 $ \Omega $ 上积分可以看作是对小片区域 $ A_i $ 求和的极限：

\[\sum_i \widehat{A}_i \to \int_{\Omega} \mathrm{d}A\]

通常我们用 Riemann sums（黎曼和） 来近似积分：

• 将区域 $ \Omega $ 划分成很多小片；
• 在每一小片中取样，计算被积对象（函数或 differential form）；
• 乘以度量（例如面积或长度）；
• 把所有小片的结果相加。

积分一个 Scalar Function（标量函数）

对于一个标量函数 $ f $，在区域 $ \Omega $ 上的积分是对面积的加权求和：

\[\sum_i f(p_i) \widehat{A}_i \to \int_{\Omega} f \, \mathrm{d}A\]

这可以看作是一个 0-form（0-形式） 在二维区域上通过标准面积元 $ \mathrm{d}A $ 积分，最终结果是一个标量。

积分一个 k-Form（k-形式）

一个 k-form（k-形式） 是可以在 k 维区域上进行积分的对象。其积分表达为：

\[\int_\Omega \omega\]

它自然地推广了我们熟悉的积分概念：

• 0-forms 在点上积分（直接取值）；
• 1-forms 在曲线上积分（线积分）；
• 2-forms 在面上积分（面积积分）；
• n-forms 在 n 维体积上积分（体积积分）。

例如，对于一个 2-form $ \omega = f(x, y)\, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y $，在二维区域 $ \Omega $ 上的积分就是标准的双重积分：

\[\int_\Omega \omega = \int_\Omega f(x, y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\]

例子

设 $ \omega := (x + xy)\, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y $，$ \Omega = [0,1] \times [0,1] $ 是单位正方形。那么：

\[\int_\Omega \omega = \int_0^1 \int_0^1 (x + xy)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ = \int_0^1 \left[ \int_0^1 (x + xy)\, \mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y \\ = \int_0^1 \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y \right] \mathrm{d}y \\ = \left[ \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}y^2 \right]_0^1 \\ = \frac{3}{4}\]

这个例子展示了如何将一个 2-form 在一个曲面上进行积分，并且与我们熟悉的双重积分是一致的。

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Stokes’ Theorem

在传统微积分中，Fundamental Theorem of Calculus （微积分基本定理）告诉我们：函数在区间两端的差值，等于它的导数在这个区间上的积分：

\[\int_a^b \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d}x = f(b) - f(a)\]

在Exterior Calculus（外微分代数）中，这一定理被推广为更强大的 Stokes’ Theorem（斯托克斯定理）：

\[\int_\Omega \mathrm{d}\omega = \int_{\partial \Omega} \omega\]

这意味着：我们在边界上看到的变化，完全取决于内部发生的变化。

“The change we see on the outside is purely a function of the change within.”
—— Zen koan

两个例子：

• Divergence Theorem（散度定理）：

  \[\int_\Omega \nabla \cdot \mathbf{X} \, \mathrm{d}A = \int_{\partial \Omega} \mathbf{X} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}\ell\]

  它告诉我们：What goes in, must come out!（进多少，出多少）

• Green’s Theorem（格林公式）：

  \[\int_\Omega \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_{\partial \Omega} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y\]

  它的直觉是：What goes around comes around!（绕一圈的环流等于内部的旋度）

为什么 $ d \circ d = 0 $？

这是 Exterior Calculus 中的一个核心事实，意味着对任意形式 ( \omega )，都有：

\[\int_\Omega \mathrm{d} \mathrm{d} \phi = \int_{ \partial \Omega} \mathrm{d} \phi = \int_{ \partial \partial \Omega} \phi = 0\]

也就是说，“导数的导数恒为零”：

• 对 0-forms 来说，这类似于梯度场的旋度为零；
• 对 1-forms 来说，就是旋度场的散度为零。

这是因为 外导数 $\mathrm{d}$ 满足类似 product rule 的性质，并且符合拓扑学中的 exactness （闭而不一定为恰）。

换句话说：

如果你已经计算了变化，再去求它的变化，那就什么都不会留下。
变化之上的变化，是空无（zero）本身。

当然！以下是加入“物理直觉”后的完整讲解版本，在开头用物理角度引入 内积（Inner Product） 的意义，便于读者从力学或工程背景自然过渡到微分形式中的内积概念。

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内积（Inner Product）

从物理直觉看内积

在物理中，内积（inner product） 最常出现在力学或工程中的以下情景：

• 两个力的“对齐程度”：
  \(\vec{F} \cdot \vec{v} = |\vec{F}|\, |\vec{v}|\, \cos\theta\) ——表示力在速度方向上的有效分量，是功率或做功的来源；

• 在信号处理或能量计算中，两个波形之间的“匹配程度”也用内积来度量： \(\langle f, g \rangle = \int f(t)\, g(t)\, \mathrm{d}t\)

所以从物理角度讲，内积衡量的是“两个对象相互作用时有多少是同方向的”。
在 differential forms 中，我们希望保留这种“对齐”或“重合程度”的直觉，但应用到更广义的对象（k-形式）上。

在数学上，内积 是一个满足以下三个条件的映射：

\[\langle \cdot , \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{R}\]

1. 双线性（bilinear）：
   \(\langle a\alpha + b\beta, \gamma \rangle = a\langle \alpha, \gamma \rangle + b\langle \beta, \gamma \rangle\)
2. 对称性（symmetric）：
   \(\langle \alpha, \beta \rangle = \langle \beta, \alpha \rangle\)
3. 正定性（positive-definite）：
   \(\langle \alpha, \alpha \rangle > 0 \quad \text{当且仅当 } \alpha \neq 0\)

$ L^2 $ 内积：0-form 的内积

对函数空间（0-forms）中的两个函数 $ f $、$ g $，它们的内积定义为：

\[\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x)\, g(x)\, \mathrm{d}x\]

这衡量了两个函数在区域 $ \Omega $ 上的重合程度，是最基本、最常见的内积形式。

微分 k-form的内积

对于一般的微分形式 $ \alpha $、$ \beta $，我们通过 wedge product 与 Hodge star 运算定义它们的内积：

\[\langle \alpha, \beta \rangle := \int_\Omega \alpha \wedge *\beta\]

其中：

• $ \wedge $：wedge product，表示方向上带有符号的“体积构造”；
• $ * $：Hodge star 运算，将一个 $ k $-form 映射到它的正交补维度，使得结果可以组成 $ n $-form，适合在区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $ 上积分。

例子：1-form 的内积

考虑以下两个 1-form：

• $ \alpha := \mathrm{d}u $
• $ \beta := v\, \mathrm{d}u - u\, \mathrm{d}v $

在 $ \mathbb{R}^2 $ 中计算它们的内积：

$ \langle \alpha, \beta \rangle = \int_\Omega \mathrm{d}u \wedge *(v\, \mathrm{d}u - u\, \mathrm{d}v) $

Hodge star 运算规则：

• $ *\mathrm{d}u = \mathrm{d}v $， $ *\mathrm{d}v = -\mathrm{d}u $

得到：

\[*\beta = v\, \mathrm{d}v + u\, \mathrm{d}u \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}u \wedge *\beta = v\, \mathrm{d}u \wedge \mathrm{d}v\]

最终：

\[\langle \alpha, \beta \rangle = \int_\Omega v\, \mathrm{d}u \wedge \mathrm{d}v\]

这说明 differential forms 的内积最终仍然通过一个 2-form 的积分来实现，几何意义清晰。

几何直觉总结

我们可以用以下类比来理解微分形式的内积：

wedge product 类似于三维空间中的 cross product（叉积）：它构造带方向的体积；
Hodge star 是将一个形式转换为其“正交方向”的补维度形式；
最终通过 wedge 得到一个可积的 n-form，再进行积分，得出两者的对齐程度，也就是 inner product。

\[\boxed{\langle \alpha, \beta \rangle = \int_\Omega \alpha \wedge *\beta}\]

所以我们可以这样理解：

内积 = 方向一致 + 维度补齐 + 空间整合

这种结构正是 differential forms 世界中“对齐与交互”的表达方式。

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总结：从平直空间到离散外微分（DEC）

我们目前在 平直空间（flat space, $ \mathbb{R}^n $） 上建立了 Exterior Calculus 的基本框架：

• Exterior algebra（外代数）：构建表示方向与体积的语言 —— 使用 k-vectors（k-向量）；
• k-form（k-形式）：用于测量 k 维体积，是与 k-向量配对的对象；
• Differential forms（微分形式）：是定义在每个空间点上的 k-form，具有局部变化的能力；
• Exterior calculus（外微分代数）：包含两个核心操作 —— differentiation（外导数） 与 integration（积分）；
• Inner product（内积）：通过 $ \langle \alpha, \beta \rangle = \int_\Omega \alpha \wedge *\beta $ 衡量形式之间的“对齐”；
• Simplicial complex（单纯形复形）：用 k-simplices 来近似空间，为离散计算打下结构基础。

但空间未必总是平的

虽然我们在平直空间中建立了这一切，但真正复杂和有趣的几何问题往往发生在曲面（curved surfaces）或流形（manifolds）上：

• 在曲面上，不同的参数化可能会引起不同的测量尺度；
• 此时，Euclidean inner product 就不能再用来准确地测量角度；
• 我们需要引入 Riemannian metric（黎曼度量） 来正确描述空间中的长度、角度与体积；
• 这也意味着，在曲面上，外微分与积分依然成立，但度量结构必须重新考虑。

我们将在未来研究 smooth surfaces 与 manifolds 时，回到这些问题，探索在更一般几何中的 exterior calculus。