DDG Smooth Surfaces II

原课件来自：https://brickisland.net/ddg-web/

光滑曲面 II

好久不看DDG，导致每次看，感觉上次写的自己都看不懂，什么玩意，都需要在简单的温故一下，然后有会觉得有一些上次学习忽略的地方。不管怎样，今天无论如何都要看完Surface II。

第一节：高斯映射（Gauss Map）

1. 基本概念

高斯映射是微分几何中描述曲面法向量方向的重要工具，它将曲面上的每一点映射到其单位法向量，从而建立从曲面到单位球面 $ S^2 $ 的对应关系。

• 单位法向量：对于曲面 $ M $，其高斯映射定义为：

  \[N: M \to S^2, \quad p \mapsto N(p)\]

  其中 $ N(p) $ 是点 $ p $ 处的单位法向量，满足 $ N(p) \perp T_pM $（与切空间正交）。

• 非唯一性：法向量本身可以有不同方向和长度，但高斯映射标准化为单位长度，仅保留方向信息（正反方向需一致）。

几何意义：高斯映射通过记录曲面上各点的法向，反映曲面的弯曲和形状特征。例如：

• 平面映射到球面的一个固定点（法向量恒定）。
• 球面映射到整个单位球面（法向量方向全覆盖）。

2. 可定向性（Orientability）

并非所有曲面都能全局定义高斯映射，其存在性取决于曲面的可定向性：

• 可定向曲面（如球面、环面）：可定义连续的高斯映射。
• 不可定向曲面（如莫比乌斯带）：法向量沿环路移动时会反转，导致高斯映射矛盾。

关键结论：

• 高斯映射的全局定义要求曲面可定向。
• 不可定向曲面的法向量场存在拓扑障碍（如莫比乌斯带的单侧性）。

3. 示例

通过参数化曲面的切向量计算高斯映射：

1. 给定参数化 $ f(u,v) $，计算切向量：

   \[\mathrm{d}f_u = \frac{\partial f}{\partial u}, \quad \mathrm{d}f_v = \frac{\partial f}{\partial v}\]

2. 法向量由叉积得到：

   \[N = \frac{\mathrm{d}f_u \times \mathrm{d}f_v}{\|\mathrm{d}f_u \times \mathrm{d}f_v\|}\]

   条件：切向量必须线性独立（叉积非零）。

球面例子：

• 参数化 $ f(u,v) = (\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v) $

• 切向量：

  $ \mathrm{d}f(\frac{\partial}{\partial u}) = (-\sin u \sin v, \cos u \sin v, 0) $,
  $ \mathrm{d}f(\frac{\partial}{\partial v}) = (\cos u \cos v, \sin u \cos v, -\sin v) $。

• 叉积结果：

  $ \mathrm{d}f(\frac{\partial}{\partial u}) \times \mathrm{d}f(\frac{\partial}{\partial v}) = -\sin v \cdot f(u,v) $。

• 单位法向量：$ N = -f(u,v) $（与球心对称，直接取反即可）。

4. 满射性（Surjectivity）

问题：高斯映射是否能覆盖整个单位球面？

• 封闭凸曲面（如椭球）：满射（所有法向量方向均存在）。
• 非凸或非闭曲面（如圆柱、平面）：非满射。
  • 圆柱面映射到赤道圆，平面映射到单点。

数学意义：

• 满射性反映曲面法向方向的完备性，与曲率分布紧密相关。
• 应用：在曲面设计中，需控制法向覆盖范围以满足需求（如纹理映射）。

5. 向量面积（Vector Area）

定义：对曲面片 $ \Omega $，向量面积是法向量的加权积分：

\[\text{Vector Area} = \int_\Omega N \, \mathrm{d}A = \frac{1}{2} \int_\Omega \mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}f\] \[A = \frac{1}{2} \mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}f\]

Exterior Calculus on Immersed Surfaces

基本概念

Immersed surface是指通过光滑映射 $ f: M \to \mathbb{R}^3 $ 定义的曲面，其中微分 $ \mathrm{d}f $ 处处非退化（即切空间维度保持为2）。

Induced Area 2-Form

• 定义：给定参数域中的向量 $ X, Y $，其映射后的有向面积由叉积给出：

  \[\mathrm{d}A(X, Y) = \| \mathrm{d}f(X) \times \mathrm{d}f(Y) \| \cdot \text{orientation}\]

• 坐标表达式：若 $ f(u,v) $ 是参数化，则：

  \[\mathrm{d}A = \| f_u \times f_v \| \, du \wedge dv\]

• 与法向量的关系：

  \[\mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}f = 2 (\mathrm{d}f(X) \times \mathrm{d}f(Y)) \, du \wedge dv = 2 N \, \mathrm{d}A\]

  （$ \mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}f $ 的方向与单位法向量 $ N $ 一致，大小为 $ 2 \, \mathrm{d}A $）。

Hodge Star

在浸入曲面 $ f(M) $ 上，霍奇星算子需根据微分形式的阶数分别定义：

0-Forms

• 定义：

  给定面积2-形式 $ \mathrm{d}A $ 和标量函数（0-形式）$ \phi $，定义：

  \[\star \phi := \phi \, \mathrm{d}A\]

• 几何意义：

  将函数 $ \phi $ 的值作为权重，缩放曲面的局部面积形式 $ \mathrm{d}A $，生成一个带权面积2-形式。
  示例：
  若 $ \phi $ 表示曲面的温度分布，则 $ \star \phi $ 表示“温度加权的面积微元”。

2-Forms

• 定义：

  对任意2-形式 $ \omega $，存在唯一的标量函数 $ \phi $ 使得：

  \[\omega = \phi \, \mathrm{d}A\]

  则定义其霍奇对偶为：

  \[\star \omega := \phi\]

• 几何意义：

  将2-形式 $ \omega $ 分解为面积形式 $ \mathrm{d}A $ 和一个标量函数 $ \phi $，提取该函数作为霍奇对偶。

  示例：
  若 $ \omega = \sin v \, du \wedge dv $ 且 $ \mathrm{d}A = \sin v \, du \wedge dv $，则 $ \star \omega = 1 $。

Complex Structure

基本定义

复结构 $ J $ 是浸入曲面 $ f: M \to \mathbb{R}^3 $ 切空间上的线性算子，满足以下核心性质：

1. 旋转特性：$ J^2 = -\text{Id} $，即对任意切向量连续应用两次 $ J $ 等价于反向。

2. 几何实现：通过法向量叉积定义切向量的旋转：

   \[\mathrm{d}f(JX) = N \times \mathrm{d}f(X), \quad \forall X \in T_p M\]

   其中 $ N $ 是单位法向量，$ \mathrm{d}f $ 是微分映射。

在 $ \mathbb{R}^2 $ 中，标准复结构为固定矩阵：

\[J_{\mathbb{R}^2} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \text{对应旋转} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix}\]

曲面上的 $ J $ 是此概念的弯曲推广，其矩阵形式依赖局部几何。

显式计算与度量依赖

复结构可通过雅可比矩阵 $ A = [\mathrm{d}f_u \ \mathrm{d}f_v] $ 和法向量叉积矩阵 $ \hat{N} $ 显式求解：

\[J = (A^T A)^{-1} A^T \hat{N} A\]

关键步骤：

1. 度量矩阵：$ A^T A $ 是诱导度量 $ g $ 的坐标表示。

2. 叉积矩阵：

   \[\hat{N} = \begin{bmatrix} 0 & -N_z & N_y \\ N_z & 0 & -N_x \\ -N_y & N_x & 0 \end{bmatrix}\]
3. 方程意义：$ A J = \hat{N} A $ 确保参数域旋转与 $ \mathbb{R}^3 $ 叉积旋转一致。

共形浸入的判定

浸入 $ f $ 是共形（保角）的充要条件为：

\[J = J_{\mathbb{R}^2}\]

此时曲面仅允许局部伸缩，角度保持不变。

\[\mathrm{d}f(JX) = N \times \mathrm{d}f(X) \Rightarrow J = (A^T A)^{-1} A^T \hat{N} A\]

Hodge star on 1-forms

对于浸入曲面 $f: M \to \mathbb{R}^3$ 上的 1-形式 $\alpha$，其Hodge star运算定义为：

\[(\star_f \alpha)(X) = \alpha(\mathcal{J}_f X)\]

其中：

• $X$ 是 $ T_p M$ 中的任意切向量。

• $\mathcal{J}_f$ 就是你前面定义的曲面上的复结构（局部90度旋转）：

  \[\mathrm{d}f(\mathcal{J}_f X) = N \times \mathrm{d}f(X)\]

几何理解：

• 在 $\mathbb{R}^2$ 中，$\star$ 对 1-形式相当于把向量旋转 $90^\circ$。
• 在曲面 $M$ 上，$\star_f$ 就通过局部法向量来确定“哪边是左，哪边是右”，从而将切向量场沿着面内旋转 $90^\circ$，再用 $\alpha$ 取值。

与其他阶霍奇星的统一性

• 0-形式：$ \star_f \phi = \phi \, \mathrm{d}A $
• 1-形式：$ \star_f \alpha(X) = \alpha(\mathcal{J}_f X) $
• 2-形式：$ \star_f (\phi \, \mathrm{d}A) = \phi $

Metric, Area Form, and Complex Structure

在曲面上，黎曼度规 $ g(X,Y) $ 可以分解为面积形式 $ \mathrm{d}A $ 和复结构 $ J $ 的组合：

\[g(X, Y) = \mathrm{d}A(X, JY)\]

其中：

• $ \mathrm{d}A $ 是曲面的有向面积2-形式（$ \mathrm{d}A(X,Y) = |X \times Y| $）。
• $ J $ 是切空间中的90度旋转算子（复结构），满足 $ J^2 = -\text{Id} $。

二维平面（$ \mathbb{R}^2 $）中的类比

在平面上，Metric、Cross和Complex Structure $ J $ 满足类似关系：

\[X \cdot Y = X \times (JY)\]

推导：

1. 设 $ X = (x_1, x_2) $，$ Y = (y_1, y_2) $，平面复结构 $ J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} $。
2. 计算 $ JY = (-y_2, y_1) $。
3. 叉积 $ X \times (JY) = x_1 y_1 + x_2 y_2 = X \cdot Y $。

几何意义：

• 左边 $ X \cdot Y $ 是向量的点积（度量内积）。
• 右边 $ X \times (JY) $ 通过旋转 $ Y $ 后与 $ X $ 叉积，结果等于点积。
• 本质：点积与叉积通过复结构 $ J $ 联系起来。

曲面上的Sharp（♯）与Flat（♭）算子

在曲面 $ f: M \to \mathbb{R}^3 $ 上，诱导度量 $ g $ 允许我们在向量场和1-形式之间转换：

• Flat（♭）：将向量场 $ X $ 转换为对应的1-形式 $ X^b $。
• Sharp（♯）：将1-形式 $ \alpha $ 转换为对应的向量场 $ \alpha^# $。

Flat 算子（♭）

对向量场 $ X $，定义其对应的1-形式 $ X^b $ 为：

\[X^b(Y) := g(X, Y) = \langle \mathrm{d}f(X), \mathrm{d}f(Y) \rangle_{\mathbb{R}^3}\]

Sharp 算子（♯）

对1-形式 $ \alpha $，定义其对应的向量场 $ \alpha^# $ 为：

\[g(\alpha^\#, Y) := \alpha(Y), \quad \forall Y\]