DDG Smooth Surfaces

光滑曲面

在上一部分中，我们研究了一维曲线的几何性质，包括光滑曲线（如参数化曲线、弧长参数化、曲率等）和离散曲线（如折线、离散曲率等）。现在，我们将视角扩展到二维曲面，探讨如何将曲线的概念推广到更高维度的几何对象。

局部视角

最初，我们通过局部几何来描述曲面。与曲线类似，曲面的参数化提供了一种外在描述，即曲面如何嵌入在空间中。例如，给定一个二维区域 ( U \subset \mathbb{R}^2 ) 和一个映射 ( f: U \to \mathbb{R}^3 )，我们可以通过 ( f ) 的像 ( f(U) ) 来表示曲面。这种描述依赖于曲面的具体位置和形状在空间中的表现。

全局视角

通过将多个局部参数化片段拼接在一起，可以描述整个曲面。这种全局描述仍然是外在的，因为它依赖于曲面在空间中的嵌入方式。例如，球面可以通过多个局部参数化（如经纬度坐标）覆盖，最终组合成一个完整的几何对象。

内蕴视角 (Intrinsic)

从全局描述出发，我们可以进一步“抛弃”曲面的空间嵌入，仅保留其内蕴几何。此时，曲面的形状信息由黎曼度量（Riemannian metric）编码，它记录了曲面上每一点的切空间中的长度和角度关系。

• 黎曼度量 ( g(X, Y) ) 是一个光滑变化的双线性形式，满足正定性。
• 通过度量，可以计算曲线的长度、区域的面积、切向量的夹角等，而无需知道曲面如何嵌入更高维空间。
• 关键思想：内蕴几何不依赖于外部空间，甚至可以描述无法嵌入低维空间的几何对象（如双曲平面）。

离散视角

在离散几何中，曲面的几何性质可以通过边长（内蕴）而非顶点坐标（外在）来定义。例如，三角形网格的几何完全由边长和夹角决定，无需显式指定顶点在空间中的位置。

这种从局部到全局再到内蕴的视角，不仅适用于光滑曲面，也为离散几何的研究提供了重要工具。

参数化曲面（Parameterized Surface）

一个参数化曲面是指从二维区域 $ U \subset \mathbb{R}^2 $ 到空间 $ \mathbb{R}^n $的映射：

\[f: U \to \mathbb{R}^n, \quad (u, v) \mapsto f(u, v)\]

其中：

• $ U $ 是参数域（如单位圆盘、矩形等）。
• $ f $ 的像 $ f(U) $ 称为曲面的图像（image），表示曲面在空间中的实际形状。

通常，平滑曲面具有如下的性质：连续性（Continuous），可微性（Differentiable），光滑性（Smooth, $ C^\infty $）。

示例：鞍面（Saddle Surface）

鞍面（双曲抛物面）的标准参数化可表示为：

\[f(u, v) = (u, v, u^2 - v^2), \quad \text{其中} \quad (u, v) \in U \subset \mathbb{R}^2\]

这里，参数域 $ U $ 通常取单位圆盘 $ U = {(u, v) \mid u^2 + v^2 \leq 1} $ 或其他有界区域。

*曲面的重新参数化（Reparameterization）

重新参数化是指用不同的参数域映射描述同一个几何曲面。例如，鞍面可以表示为：

\[f(u,v) = (u, v, u^2 - v^2) \quad \text{或} \quad \hat{f}(s,t) = (s+t, s-t, 4st)\]

尽管参数形式不同，但它们的像（即实际曲面）完全相同。

重新参数化的意义

1. 数学灵活性
   • 某些计算（如积分、曲率）在特定参数化下更简单（如保角参数化）。
2. 应用需求
   • 在计算机图形学中，不同的参数化可能影响纹理映射的质量或数值模拟的稳定性。
3. 几何不变性
   • 曲面的本质属性（如高斯曲率）与参数化无关，但显式计算依赖参数选择。

重新参数化揭示了曲面描述中的自由度，既是理论研究的工具，也是实际应用中需解决的难题（如形状匹配）。理解这一概念有助于区分几何的本质属性与描述方式的差异。

嵌入曲面（Embedded Surface）

一个嵌入曲面是指通过参数化映射 $ f: U \to \mathbb{R}^3 $ 将二维区域 $ U $ 无自交、无撕裂地放入三维空间，且保持原域的基本拓扑结构。

• 关键要求：曲面不能“穿过自身”（无自交），也不能出现“粘合”（如将圆柱两端粘合为环面时需特殊处理）。

参数化 $ f $ 是一个嵌入，若满足：

1. 连续双射：$ f $ 是 $ U $ 到 $ f(U) $ 的一一对应连续映射。
2. 逆映射连续：$ f^{-1}: f(U) \to U $ 也连续。

曲面微分（Differential of a Surface）

曲面的微分 $ \mathrm{d}f $ 是一个关键工具，它描述了参数域上的切向量如何被“推前”（push forward）到三维空间的切平面中。

$ \mathrm{d}f $ 将参数平面的“微小箭头” $ X $ 拉伸、旋转为曲面上的切向量，揭示了曲面的局部线性近似。

坐标表示（Differential in Coordinates）

曲面的微分 $ \mathrm{d}f $ 可以显式表示为参数化的外导数，它将参数域 $ U \subset \mathbb{R}^2 $ 上的向量场 $ X $ 映射到曲面切空间中的向量 $ \mathrm{d}f(X) $。

给定参数化 $ f: U \to \mathbb{R}^3 $，其微分 $ \mathrm{d}f $ 可展开为：

\[\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial u} \mathrm{d}u + \frac{\partial f}{\partial v} \mathrm{d}v\]

其中：

• $ \mathrm{d}u $ 和 $ \mathrm{d}v $ 是参数域的对偶基（1-形式），表示沿 $ u $、$ v $ 方向的微小变化。
• $ \frac{\partial f}{\partial u} $ 和 $ \frac{\partial f}{\partial v} $ 是曲面的切向量（Jacobian 矩阵的列）。

几何解释：

$ \mathrm{d}f $ 将参数平面的向量 $ X = a \partial_u + b \partial_v $ 线性组合为曲面切向量：

\[\mathrm{d}f(X) = a \frac{\partial f}{\partial u} + b \frac{\partial f}{\partial v}\]

推前向量场（Push Forward）

若参数域上有向量场 $ X = \alpha(u,v) \partial_u + \beta(u,v) \partial_v $，则其推前 $ \mathrm{d}f(X) $ 为：

\[\mathrm{d}f(X) = \alpha(u,v) \frac{\partial f}{\partial u} + \beta(u,v) \frac{\partial f}{\partial v}\]

鞍面示例

考虑鞍面 $ f(u,v) = (u, v, u^2 - v^2) $：

1. 求偏导：

   \[\frac{\partial f}{\partial u} = (1, 0, 2u), \quad \frac{\partial f}{\partial v} = (0, 1, -2v)\]

2. 向量场推前：对 $ X = \frac{3}{4} (\partial_u - \partial_v) $，有：

   \[\mathrm{d}f(X) = \frac{3}{4} \left( (1,0,2u) - (0,1,-2v) \right) = \frac{3}{4} (1, -1, 2(u + v))\]

   在点 $ (u,v) = (0,0) $ 处，$ \mathrm{d}f(X) = \left( \frac{3}{4}, -\frac{3}{4}, 0 \right) $。

雅可比矩阵（Jacobian）

对于映射 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J_f $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，表示 $ f $ 的微分 $ \mathrm{d}f $ 在标准基下的线性变换：

\[J_f := \begin{bmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^m}{\partial x^n} \end{bmatrix}\]

其中 $ f^1, \ldots, f^m $ 是 $ f $ 的分量函数，$ x^1, \ldots, x^n $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 的坐标。

几何意义

1. 微分的作用：
   雅可比矩阵将输入空间 $ \mathbb{R}^n $ 的切向量 $ X $ 线性映射到输出空间 $ \mathbb{R}^m $ 的切向量：

   \[\mathrm{d}f(X) = J_f X\]
   • 曲线（$ n=1 $）：$ J_f $ 是切向量 $ \gamma’(t) $。
   • 曲面（$ n=2, m=3 $）：$ J_f $ 的列向量张成切平面（如 $ \partial_u f, \partial_v f $）。

2. 局部线性近似：

   $ J_f $ 描述了 $ f $ 在一点附近的最佳线性逼近，即：

   \[f(p + h) \approx f(p) + J_f h \quad \text{（当 } \|h\| \to 0\text{）}\]

浸入曲面（Immersed Surface）

一个参数化映射 $ f: U \to \mathbb{R}^n $ 称为浸入（immersion），如果其微分 $ \mathrm{d}f $ 在每一点 $ p \in U $ 都是非退化的，即：

\[\mathrm{d}f(X)|_p = 0 \iff X|_p = 0 \quad \forall p \in U.\]

• 几何意义：曲面的切空间在每点都保持二维性，没有“压扁”或“退化”。
• 关键性质：即使曲面全局自交（如自交的 Klein 瓶），局部仍可定义切平面、法向量等几何量。

示例：球面参数化

考虑球面的标准参数化：

\[f(u,v) = (\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v), \quad v \in (0, \pi)\]

其微分 ( \mathrm{d}f ) 的矩阵表示为：

\[J_f = \begin{bmatrix} -\sin u \sin v & \cos u \cos v \\ \cos u \sin v & \sin u \cos v \\ 0 & -\sin v \end{bmatrix}\]

• 问题：当 $ v = 0 $ 或 $ v = \pi $（两极）时，$ \frac{\partial f}{\partial u} = (0, 0, 0) $，微分退化 （无法向东西或南北行走）。
• 结论：球面参数化在两极不是浸入（无法定义东西方向的切向量）。

浸入是微分几何中“最弱”的光滑性条件，允许全局复杂性（如自交）但保留局部可计算性。理解浸入有助于处理实际中的非理想曲面（如扫描重建的噪声模型）。

浸入（Immersion）与嵌入（Embedding）的对比

特性	浸入（Immersion）	嵌入（Embedding）
自交性	允许全局自交（如 Klein 瓶在 $ \mathbb{R}^3 $）	禁止自交（如球面、环面）
局部性质	每点处微分 $ \mathrm{d}f $ 满秩，切空间二维	浸入 + 全局单射（无自交）
拓扑保持	仅局部同胚于平面	全局同胚于参数域的拓扑
物理合理性	非物理（自交）	物理可实现（无自交）

正则同伦（Regular Homotopy）

正则同伦描述了两个浸入曲面 $ f_0, f_1: U \to \mathbb{R}^3 $ 之间通过一系列“良好形变”相互转化的过程。具体表现为：

存在连续映射 $ h: U \times [0,1] \to \mathbb{R}^3 $，使得：

1. 边界条件：$ h(x,0) = f_0(x) $，$ h(x,1) = f_1(x) $；
2. 浸入保持：对任意固定 $ t \in [0,1] $，映射 $ h(\cdot, t) $ 仍是浸入（即微分 $ d h_t $ 处处满秩）。

几何意义：形变过程中不允许曲面出现“捏缩”（pinches）、“尖锐褶皱”（sharp creases）或“停顿”（stops），始终保持局部光滑性。

圆与球面的外翻（Circle Eversion vs. Sphere Eversion）

• 平面闭合曲线的正则同伦类由其环绕数（Turning Number） $ k $ 决定。
• 环绕数：单位切向量绕原点的旋转次数（逆时针为 $ +1 $，顺时针为 $ -1 $）。
• 结论：
  • 标准圆 $ k=+1 $ 无法通过浸入形变（正则同伦）变为 $ k=-1 $ 的“内翻圆”。
  • 二维平面上不允许曲线自交时穿过自身（需第三维空间）。

反直觉的突破

• 在三维空间中，球面可通过自交浸入实现外翻（Inside-Out），且过程中始终保持光滑（正则同伦）。
• 关键区别：三维空间提供了额外的自由度，允许自交曲线动态移动并最终消除。

1. 历史与人物
   • Bernhard Morin（1976）：首位给出具体外翻方法的数学家（虽本人失明，但通过触觉想象完成）。
   • Outside In（1994）：几何中心制作的经典动画，直观展示外翻过程。
   • Optiverse：Francis、Kusner、Sullivan 提出的“最优”外翻路径（能量最小化）。
2. 外翻步骤（直观描述）
   • 阶段1：引入“凹陷”使球面自交为环形。
   • 阶段2：逐步推动自交环向两极移动并消失。
   • 结果：初始外表面最终变为内表面。

“我们的空间想象源于手的操作…而非视觉。”
——Bernhard Morin（以触觉“看见”几何的盲人数学家）

从圆的不可外翻到球面的可外翻，揭示了维度对几何形变的深刻影响。这一现象不仅是微分拓扑的经典课题，也是连接数学理论与可视化技术的桥梁。

黎曼度量（Riemannian Metric）

黎曼度量 $ g $ 是光滑流形（如曲线、曲面）上的一种结构，用于测量切向量的长度和夹角。具体表现为：

• 对每一点 $ p $ 的切空间 $ T_p M $，$ g $ 给出一个正定对称双线性形式：

  \[g_p: T_p M \times T_p M \to \mathbb{R}, \quad (X, Y) \mapsto g_p(X, Y).\]

黎曼度量 $ g $ 不同于距离函数 $ d(x, y) $，后者是全局的测地线长度。

1. 长度与角度：
   • 向量 $ X $ 的长度：$ |X| = \sqrt{g(X, X)} $。
   • 两向量 $ X, Y $ 的夹角：$ \theta = \arccos\left( \frac{g(X, Y)}{|X| |Y|} \right) $。
2. 局部几何：$ g $ 决定了曲面的第一基本形式（如曲率、测地线）。

浸入诱导的度量（Metric Induced by an Immersion）

对于浸入（immersion）$ f: U \to \mathbb{R}^n $，如何正确测量其参数域 $ U \subset \mathbb{R}^2 $ 上切向量 $ X, Y $ 的内积？

• 错误做法：直接使用参数域 $ U $ 的欧氏内积 $ \langle X, Y \rangle_{\mathbb{R}^2} $。
• 原因：参数域的平面内积无法反映曲面在空间中的实际几何（如拉伸或弯曲）。

正确方法：诱导度量（Induced Metric）

定义曲面上的内积为推前切向量的欧氏内积：

\[g(X, Y) := \langle \mathrm{d}f(X), \mathrm{d}f(Y) \rangle_{\mathbb{R}^n},\]

其中 $ \mathrm{d}f $ 是微分（雅可比矩阵），将参数域的向量 $ X $ 映射到曲面的切空间。

诱导度量（Induced Metric）的矩阵表示与计算

诱导度量 $ g $ 可以表示为一个对称正定的 $ 2 \times 2 $ 矩阵 $ \mathbf{I} $，称为第一基本形式。其定义如下：

$ g(X, Y) = X^\top \mathbf{I} Y, $

其中：

• $ X, Y $ 是参数域 $ U \subset \mathbb{R}^2 $ 上的切向量。

• 矩阵 $ \mathbf{I} $ 的分量为：

  \[I_{ij} = g\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right) = \left\langle \mathrm{d}f\left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right), \mathrm{d}f\left( \frac{\partial}{\partial x^j} \right) \right\rangle.\]

关键点：

• $ \mathbf{I} $ 通过曲面的微分 $ \mathrm{d}f $ 定义，编码了参数化导致的拉伸和扭曲。

• 矩阵 $ \mathbf{I} $ 也可以由雅可比矩阵 $ J_f $ 计算：

  \[\mathbf{I} = J_f^\top J_f.\]

Saddle 示例

参数化曲面：

\[f(u, v) = (u, v, u^2 - v^2), \quad (u, v) \in U \subset \mathbb{R}^2.\]

步骤1：计算微分 $ \mathrm{d}f $ 和雅可比矩阵 $ J_f $

• 切向量的偏导数：

  \[\frac{\partial f}{\partial u} = (1, 0, 2u), \quad \frac{\partial f}{\partial v} = (0, 1, -2v).\]

• 雅可比矩阵：

  \[J_f = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & -2v \end{bmatrix}.\]

步骤2：计算第一基本形式 $ \mathbf{I} = J_f^\top J_f $

\[\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2u \\ 0 & 1 & -2v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & -2v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 4u^2 & -4uv \\ -4uv & 1 + 4v^2 \end{bmatrix}.\]

分量解释：

• $ E = 1 + 4u^2 $：$ u $-方向的拉伸系数（含 $ 2u $ 的扭曲项）。
• $ F = -4uv $：$ u $ 和 $ v $-方向的耦合项（反映曲面的非正交性）。
• $ G = 1 + 4v^2 $：$ v $-方向的拉伸系数。

3. 几何意义

• 长度计算：向量 $ X = (a, b)^\top $ 的长度为：

  \[\|X\| = \sqrt{g(X, X)} = \sqrt{a^2 (1 + 4u^2) + 2ab (-4uv) + b^2 (1 + 4v^2)}.\]

• 角度计算：两向量 $ X, Y $ 的夹角 $ \theta $ 满足：

  \[\cos \theta = \frac{g(X, Y)}{\|X\| \|Y\|} = \frac{X^\top \mathbf{I} Y}{\sqrt{X^\top \mathbf{I} X \cdot Y^\top \mathbf{I} Y}}.\]

在点 $ (u, v) = (1, 0) $ 处，度量矩阵为：

\[\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\]

• 向量 $ X = (1, 0)^\top $ 的长度为 $ \sqrt{5} $，而 $ Y = (0, 1)^\top $ 的长度为 $ 1 $。
• 此时 $ g(X, Y) = 0 $，说明 $ X $ 和 $ Y $ 在该点正交。

诱导度量 ( \mathbf{I} ) 将曲面的内在几何从嵌入空间“拉回”到参数域，是计算长度、角度、曲率的基础。

共形坐标（Conformal Coordinates）

一个参数化 $ f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 $ 是共形的（conformal），如果其诱导的黎曼度量 $ \mathbf{I} $ 满足：

\[\mathbf{I} = \lambda(u,v) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \lambda(u,v) > 0.\]

• 几何意义：曲面的度量是参数域平面度量的标量倍，仅通过一个函数 $ \lambda(u,v) $ 缩放。
• 核心性质：
  • 保角性：曲面上任意两向量的夹角与其在参数域中的夹角相同。
  • 长度非均匀缩放：长度在参数域和曲面之间按比例 $ \sqrt{\lambda(u,v)} $ 变化。

共形参数化的重要性

1. 简化计算：
   • 度量矩阵仅含一个自由度（$ \lambda $），而非三个（$ E, F, G $），极大简化曲率、测地线等计算。
2. 几何不变性：
   • 保角性使局部形状（如角度）不受参数化扭曲影响，适用于纹理映射、曲面重建。
3. 理论普适性：
   • 任何光滑曲面均存在共形参数化（Uniformization Theorem），而等距参数化通常不存在。

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3. 共形 vs. 等距参数化

| 特性 | 共形参数化 | 等距参数化 | |——————-|———————————–|———————————–| | 度量形式 | $ \mathbf{I} = \lambda(u,v) \mathbb{I}_2 $ | $ \mathbf{I} = \mathbb{I}_2 $（理想情况） | | 长度保持 | 非均匀缩放 | 完全保持 | | 角度保持 | 是 | 是 | | 存在性 | 总存在（如球面、环面） | 仅限可展曲面（平面、圆柱） |

恩内佩尔曲面（Enneper Surface）示例

恩内佩尔曲面是一个经典的极小曲面（Minimal Surface），其参数化方程为：

\[f(u,v) = \begin{bmatrix} uv^2 + u - \frac{1}{3}u^3 \\ \frac{1}{3}v(v^2 - 3u^2 - 3) \\ u^2 - v^2 \end{bmatrix}\]

• 几何特性：具有自交性质，对称且无限延伸，是数学上研究共形度量的理想例子。

雅可比矩阵 $ J_f $（切向量的矩阵表示）：

\[J_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u} & \frac{\partial f_1}{\partial v} \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} & \frac{\partial f_2}{\partial v} \\ \frac{\partial f_3}{\partial u} & \frac{\partial f_3}{\partial v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -u^2 + v^2 + 1 & 2uv \\ -2uv & -u^2 + v^2 - 1 \\ 2u & -2v \end{bmatrix}\]

诱导度量 $ \mathbf{I} = J_f^\top J_f $：

\[\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 + 4u^2 + (u^2 - v^2 - 1)^2 & -4uv \\ -4uv & 1 + 4v^2 + (u^2 - v^2 + 1)^2 \end{bmatrix}\]

经过化简后，神奇地简化为：

\[\mathbf{I} = (u^2 + v^2 + 1)^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\]

恩内佩尔曲面通过其简洁的共形度量，展示了极小曲面与复分析之间的深刻联系。其度量形式 $ \mathbf{I} = \lambda(u,v) \mathbb{I}_2 $ 是理论与应用中的黄金标准，为曲面参数化提供了最优的局部几何描述。

抽象黎曼度量（Abstract Riemannian Metric）

黎曼度量是流形上逐点光滑变化的内积 $ g_p $，赋予切空间 $ T_p M $ 长度和角度的测量能力。其核心在于：

1. 内蕴性：无需依赖嵌入空间，仅通过 $ g_p(X,Y) $ 即可定义几何量（如曲率、测地线）。
2. 灵活性：任意指定对称正定双线性形式 $ g_{ij} $ 均可构造合法度量（如双曲平面 $ \delta_p $）。
3. 普适公式：长度 $ |X| = \sqrt{g(X,X)} $，夹角 $ \cos\theta = \frac{g(X,Y)}{|X||Y|} $。

黎曼度量是“弯曲空间的尺规”，完全由局部内积决定全局几何。

例子：单位圆盘的双曲度量

在单位圆盘 $ U = { p \in \mathbb{R}^2 \mid

p

< 1 } $ 上定义双曲度量：

\[g_p(X, Y) = \frac{4}{(1 - |p|^2)^2} \langle X, Y \rangle_{\mathbb{R}^2},\]

其中 $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{\mathbb{R}^2} $ 是欧氏内积。

1. 局部长度膨胀

   在点 $ p = (0.5, 0) $ 处，取向量 $ X = (1, 0) $：

   \[|X|_{g} = \sqrt{g_p(X, X)} = \frac{2}{1 - 0.5^2} \cdot 1 = \frac{8}{3}.\]

   结论：相同欧氏长度的向量在 $ p $ 点处双曲长度更大，且仅依赖 $ p $ 的局部坐标 $

   p

   $。

2. 角度不变性（保角性）
   对任意两向量 $ X, Y $，夹角：

   \[\theta = \arccos \left( \frac{g_p(X, Y)}{|X|_g |Y|_g} \right) = \arccos \left( \frac{\langle X, Y \rangle}{\|X\| \|Y\|} \right).\]

   结论：双曲度量与欧氏角度相同，仅通过 $ g_p $ 的标量因子 $ \lambda(p) = \frac{4}{(1-

   p

   ^2)^2} $ 即可确定，无需全局信息。

3. 面积
   对参数域 $ D \subset U $，面积为：

   \[\text{Area}(D) = \iint_D \sqrt{\det(g_p)} \, du \, dv = \iint_D \frac{4}{(1 - u^2 - v^2)^2} \, du \, dv.\]

   结论：当 $ R \to 1 $，面积 $ \to +\infty $，与长度共同反映双曲空间的“膨胀”性质。

4. 长度
   在双曲度量 $ g_p $ 下，曲线 $ \gamma: [a,b] \to U $ 的长度为：

   \[\text{Length}(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t), \gamma'(t))} \, dt = \int_a^b \frac{2 \|\gamma'(t)\|_{\mathbb{R}^2}}{1 - |\gamma(t)|^2} \, dt.\]

   结论：当 $ r \to 1 $，长度 $ \to +\infty $，体现双曲几何的“无限延伸”特性。

双曲度量 $ g_p $ 展示了如何仅通过局部内积定义弯曲空间的完整几何，无需全局嵌入。这是内蕴几何的核心思想——几何即局部测量的规则。

嵌入定理（Embedding Theorems）

1. 核心问题
   给定黎曼度量 $ g $，能否找到嵌入映射 $ f $ 使得 $ g(X,Y) = \langle \mathrm{d}f(X), \mathrm{d}f(Y) \rangle $？即：能否将抽象流形等距嵌入欧氏空间？

2. Hilbert定理（负结果）
   • 双曲空间：无法将常负曲率（如双曲平面）光滑嵌入 $ \mathbb{R}^3 $。
   • 限制：某些内蕴几何需更高维空间实现。
3. Nash嵌入定理（正结果）
   • 存在性：任何 $ n $-维黎曼流形均可全局嵌入 $ \mathbb{R}^N $（$ N $ 足够大，如 $ N = \frac{n(n+1)(3n+11)}{2} $）。
   • 低维优化：若允许 $ C^1 $ 光滑性，可嵌入 $ \mathbb{R}^{n+1} $；若初始嵌入“不拉伸距离”（short），则存在保距嵌入。

Atlas & Charts

复杂曲面通常无法用单一参数化表示，需通过重叠的局部坐标卡（charts）覆盖，构成图册（atlas）。每个坐标卡 $ \phi_i: U_i \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 $ 提供曲面的局部参数化。

1. 度量的局部一致性
   • 每个坐标卡 $ \phi_i $ 诱导局部黎曼度量 $ g_i(X,Y) = \langle d\phi_i(X), d\phi_i(Y) \rangle $。

   • 关键条件：在坐标卡重叠区域 $ U_i \cap U_j $，度量需满足相容性：

     \[g_j(d\phi_{ij}(X), d\phi_{ij}(Y)) = g_i(X,Y), \quad \phi_{ij} = \phi_j^{-1} \circ \phi_i.\]

     这确保几何量（如长度、曲率）与坐标选择无关。

2. 几何意义
   • 局部简化：将复杂曲面拆分为可计算的“碎片”（如球面需至少两片坐标卡）。
   • 全局一致性：通过转移映射 $ \phi_{ij} $ 和度量相容性，拼合出整体几何。

抽象黎曼流形（Abstract Riemannian Manifold）

无需依赖流形在欧氏空间中的具体嵌入，仅通过局部坐标卡（charts）和相容的黎曼度量 $ g_i $ 即可定义几何结构。

• 组成要素：
  • 开集覆盖 $ {U_i} $ 和转移映射 $ \phi_{ij} $。
  • 每片 $ U_i $ 上的度量 $ g_i $，且在重叠区域满足 $ g_j(\mathrm{d}\phi_{ij}(X), \mathrm{d}\phi_{ij}(Y)) = g_i(X,Y) $。

1. 核心定理
   • 几何量的内蕴性：长度、角度、曲率等均可通过局部度量 $ g_i $ 计算，与坐标选择无关。
   • 脱离嵌入的自由：允许定义无法低维嵌入的流形（如双曲平面、高维时空）。
2. 意义与应用
   • 数学：统一处理弯曲空间，如广义相对论的时空流形。
   • 计算：离散几何中通过局部边长和夹角定义流形（如三角网格）。

Charts是“地图”，抽象黎曼流形是“带比例尺的地图集”

总结

两种几何描述的对比

描述方式	外在（Extrinsic）参数化	内蕴（Intrinsic）黎曼度量
核心思想	将曲面表示为映射 $ f: U \to \mathbb{R}^n $ 的像，依赖外部空间坐标。	通过切空间上的内积 $ g(X,Y) $ 定义几何，完全脱离嵌入空间。
优点	直观描述曲面形状（如顶点位置、法向量）。	独立于参数化，直接反映曲面的内在性质（如曲率、测地线）。
局限性	依赖嵌入空间，无法描述抽象流形（如无法嵌入的拓扑空间）。	缺乏直观的空间位置信息，需通过计算提取几何特征。
关键工具	微分 $ \mathrm{d}f $、法向量 $ N = \partial_u f \times \partial_v f $。	第一基本形式 $ \mathbf{I} = J_f^\top J_f $、高斯曲率 $ K $。
应用场景	计算机图形学（网格建模）、物理模拟（流体表面）。	广义相对论（时空流形）、离散微分几何（仅知边长和夹角时的曲面重建）。

外在参数化与内蕴度量是研究光滑曲面的“一体两面”，前者提供直观形状，后者揭示本质几何。理解二者的转换与互补，是微分几何及其应用（如离散曲面处理）的核心基础。