DDG Smooth Curves

曲线与表面

生活中的几何

我们日常接触的绝大多数几何对象，无论是自然界还是人造物，都可以用曲线和曲面来描述。比如行星的运行轨道和心电图都是曲线的形式，而飞机机翼，人脸建模则是曲面。即便是实体的边界，比如三维物体（如球体），其本质也是由曲面（边界）定义的。因此，曲线和曲面是连接数学与现实的桥梁。

微分几何则主要研究n维流形，通常聚焦于低维： 曲线（n=1）、曲面（n=2）、体积（n=3）。主要原因如下：

• 应用广泛：从机器人路径规划到计算机图形学。
• 低维并非简单，也可能极其深刻：
  • n=1：纽结识别（2022年才解决！）。
  • n=2：Willmore猜想（2012年证得部分结果）。
  • n=3：几何化猜想（2003年佩雷尔曼证明，价值百万美元）。
• 高维未必复杂，机器学习中的高维数据反而可能缺乏几何深度（如对称性、曲率流等）。

反直觉：低维流形是数学的“实验室”，蕴藏最丰富的结构与未解之谜。

描述几何的多种“方言”：

• 局部参数化（如圆弧 $(\cos\theta, \sin\theta)$）。
• 微分形式（坐标无关，适合全局分析）。
• 活动标架（Frenet标架用于曲线，曲面上的标架场）。
• 隐式方程（如 $x^2 + y^2 = 1$ 定义圆）。

同样，复杂问题下不必拘泥于一种方法，就如同一个人掌握多种语言的必要性一般。

离散描述

数值计算需要离散化：
| 方法 | 优点 | 缺点 |
|—————-|—————————–|—————————–|
| 隐式（如水平集） | 拓扑变化灵活（如分裂、合并） | 存储成本高、自适应困难 |
| 显式（如网格） | 计算高效、工具成熟 | 拓扑修改复杂 |

就如同DDG课程所讲，本课程的目标就是在光滑理论上，通过微分形式揭示几何本，而在离散逼近上，用网格和离散微分形式实现算法，从而实现在理论（纸上推导）与计算（代码实现）间的自由切换。

比如在汽车设计中，设计汽车曲面（光滑）->生成有限元网格（离散）-> 模拟碰撞（算法）。

平面曲线

隐式描述

定义：通过函数$\phi(x,y)=0$定义的平面点集

• 典型示例：单位圆的方程$x^2+y^2-1=0$
• 优势：
  • 表示简洁，一个方程描述完整曲线
  • 容易判断点是否在曲线上（代入验证）
• 局限：
  • 自交点处理困难（如双纽线）
  • 难以直接获取几何属性（如切线方向）

数学内涵：体现了曲线的全局性质，是代数几何的研究对象。

参数化描述

定义：通过$\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2$的映射给出

• 经典示例：圆的参数方程$\gamma (\theta) = (\cos \theta, \sin \theta)$
• 显著优势：
  • 明确处理自交（浸入vs.嵌入）
  • 自然包含运动信息（$\gamma^\prime (t)$表示速度）
  • 适合物理建模（如粒子轨迹）

关键特征：参数化本质上是将一维区间”拉伸扭曲”到平面。

参数化曲线自然地导出离散表示：用顶点序列${v_0,v_1,…,v_n}$逼近。

特征	隐式描述	参数化描述
自交处理	困难	明确
几何计算	需隐函数求导	直接微分
运动描述	不自然	包含速度信息
离散化难度	复杂（如体素化）	简单（取采样点）

一个平面参数化曲线是指从实数区间到平面的映射：

\[\gamma: [0,L] \to \mathbb{R}^2\]

其中：

• 定义域 $[0,L]$ 是实直线上的闭区间（参数空间）
• 值域 $\gamma([0,L])$ 是平面上的点集（轨迹）

曲线微分

参数化曲线 $\gamma: [0,L] \to \mathbb{R}^2$ 的微分 $ \mathrm{d} \gamma$ 是将参数空间的切向量映射到平面切向量的线性变换：

\[\mathrm{d} \gamma: T_s[0,L] \to T_{\gamma(s)}\mathbb{R}^2\]

曲线切向量

切向量是曲线在某点的”最佳逼近直线”的方向向量:

对于 $ C^1 $ 类正则曲线 $\gamma: I \to \mathbb{R}^n $：

\[T(t) = \frac{\mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}t}{\|\mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}t\|} \in S^{n-1}\]

其中正则性条件 $|d\gamma/dt| \neq 0$ 确保定义良好。

• 微分 如同”橡皮筋拉伸规则”：
  • 参数空间是松弛的橡皮筋，$\mathrm{d}\gamma$ 描述它被拉伸到曲线时的变形方式。
• 切向量 如同”指南针方向”：
  • 在曲线每点标出一个箭头，指向曲线前进方向（长度固定为1）。

曲线的重新参数化

给定一条参数化曲线 $\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ 和一个双射映射 $\eta: [c,d] \to [a,b]$，我们可以构造重新参数化的曲线：

\[\tilde{\gamma}(t) = \gamma(\eta(t)), \quad t \in [c,d]\]

关键性质：

• 新曲线 (\tilde{\gamma}) 与原始曲线 (\gamma) 几何形状完全相同
• 仅改变了曲线的遍历方式（速度、参数间隔等）

微分 $\mathrm{d}\tilde{\gamma}$ 揭示了参数变换导致的向量伸缩：

\[\mathrm{d}\tilde{\gamma} = \mathrm{d}\gamma \circ d\eta\]

一条参数化曲线 $\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ 是正则的，其微分（速度向量）处处非零：

\[\gamma'(t) \neq 0, \quad \forall t \in [a,b]\]

几何解释

• “永不停滞”：曲线在任意点都有明确的前进方向
• 切空间良定义：每点存在一维切空间 $T_{\gamma(t)}\mathcal{C}$
• 排除奇点：如尖点（cusp）、回溯点等病理情况

非正则曲线示例

同样，一个非正则曲线则表明其曲线微分在至少某一点上为零。如果举一个例子。

• 原始曲线：

  \[\gamma(s) = \begin{cases} (s, s) & s \leq 0 \\ (s, -s) & s > 0 \end{cases}\]

• 重新参数化：取$\eta(s) = s^3$，得到：

  \[\tilde{\gamma}(s) = \gamma(s^3) = \begin{cases} (s^3, s^3) & s \leq 0 \\ (s^3, -s^3) & s > 0 \end{cases}\]

微分分析

计算一阶导数：

\[\tilde{\gamma}'(s) = \begin{cases} (3s^2, 3s^2) & s < 0 \\ (0, 0) & s = 0 \\ (3s^2, -3s^2) & s > 0 \end{cases}\]

• 连续性：$\lim_{s\to 0^-} \tilde{\gamma}’(s) = \lim_{s\to 0^+} \tilde{\gamma}’(s) = (0,0)$
• 正则性破坏点：在$s=0$处$\tilde{\gamma}’(0) = 0$

嵌入曲线（Embedded Curve）

直观理解

嵌入曲线是不自交的曲线，满足：

• 没有交叉点（如数字”8”不是嵌入曲线）
• 没有端点重合（如闭合环除外）
• 在平面上看起来是”一根连续不断的线”

数学定义

对于参数化曲线 $\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n$，它是嵌入的当且仅当：

1. 连续单射：$\gamma$ 是连续且一一映射的
2. 逆映射连续：$\gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b]$ 也是连续的（即同胚嵌入）

反例

• 构造方式：

  \[\gamma: [0,1) \to S^1, \quad t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\]

• 性质分析：

  • 连续单射：每个$t$对应圆上唯一点，且连续
  • 非嵌入：当$t \to 1^-$时，$\gamma(t)$趋近于$(1,0)$，但$\gamma^{-1}$在$(1,0)$处不连续（无法连续”解开”圆）

几何表现：

• 图像是一个缺了一个点的圆（极限点未闭合）
• 若强行闭合（令$\gamma(1)=(1,0)$），则失去单射性

单位法向量

法向量是垂直于切向量的单位向量，满足：

• “竖直外伸”：在平面曲线的每点指向曲率中心方向
• 正交性：始终与切向量 $ T(s) $ 满足 $ T \cdot N = 0 $
• 定向规则：通常取逆时针旋转90°（右手系）

数学定义

对于弧长参数化曲线 $\gamma(s)$，单位法向量定义为：

\[N(s) = JT(s)\]

其中 $ J $ 是逆时针旋转90°的线性算子：

\[J(x,y) = (-y,x)\]

曲率

曲率 $\kappa$ 量化曲线在某点的弯曲程度：

• $\kappa = 0$：直线（不弯曲）
• $\kappa$ 越大：弯曲越剧烈
• 符号：表示弯曲方向（逆时针为正，顺时针为负）

对于弧长参数化曲线 $\gamma(s)$，曲率为单位切向量 $T(s)$ 的变化率：

\[\kappa(s) = \left\| \frac{dT}{ds} \right\| = \| T'(s) \|\]

若用法向量 $N(s)$ 表示：

\[\kappa(s) = \langle N(s), T'(s) \rangle\]

密切圆（Osculating Circle）

过曲线上点 $p$ 及左右邻近两点，当邻近点无限接近 $p$ 时，这三个点确定的圆的极限位置即为密切圆。

• 曲率半径：密切圆半径 $r$ 与曲率的关系：

  \[\kappa(p) = \frac{1}{r(p)}\]

（半径越小，曲率越大）

曲率决定曲线

对于弧长参数化的平面曲线 $\gamma(s)$，在刚体运动（平移+旋转）意义下：

• 唯一性：曲线的形状完全由曲率函数 $\kappa(s)$ 决定
• 存在性：任意给定的连续函数 $\kappa(s)$ 对应一条平面曲线

几何直观

方向盘比喻：

• 曲率 $\kappa(s)$ 如同方向盘转角
• 以单位速度行驶时，$\kappa(s)$ 决定行驶方向的变化率

从曲率函数重建平面曲线

根据平面曲线基本定理，给定曲率函数 $\kappa(s)$ 和初始条件，可通过三步重建曲线：

1. 积分曲率得角度：

   \[\theta(s) = \int_0^s \kappa(t) dt + \theta_0\]

   （$\theta_0$ 为初始切向角度）

2. 构造切向量：

   \[T(s) = (\cos\theta(s), \sin\theta(s))\]

3. 积分切向量得曲线：

   \[\gamma(s) = \gamma(0) + \int_0^s T(t) dt\]

示例验证：常曲率 $\kappa(s) = 1$

1. 角度函数：

   \[\theta(s) = \int_0^s 1 \, dt = s \quad (\text{设} \theta_0=0)\]

2. 切向量：

   \[T(s) = (\cos s, \sin s)\]

3. 曲线积分：

   \[\gamma(s) = \int_0^s (\cos t, \sin t) dt = (\sin s, 1-\cos s)\]

   结果：半径为1的圆沿x轴滚动的摆线

转向数（Turning Number）与环绕数（Winding Number）

• 转向数 $ k $：
  想象一个小车沿曲线行驶，方向盘总共转了多少圈。
  • $ k=+1 $：标准逆时针圆（方向盘逆时针转1圈）
  • $ k=0 $：直线或”8”字形（净转向为零）
• 环绕数 $ n(p) $：
  用一根绳子连接点 $ p $ 和曲线，数绳子绕 $ p $ 的净圈数。
  • 若 $ p $ 在曲线内部，通常 $ n(p) \neq 0 $
  • 若 $ p $ 在外部，$ n(p) = 0 $

切线数是“切线映射”绕原点的环绕数。也就是说，如果我们不是用原始曲线去绕某个点，而是用单位切向量在单位圆上形成的路径去计算环绕数，那得到的数就是切线数。

Whitney–Graustein 定理

当两条曲线之间可以通过连续变形（homotopy）变换，且在整个过程中始终保持“正则”（即处处导数不为零、没有尖点或停顿）时，我们称这两条曲线是正则同伦（regularly homotopic）的。

Whitney–Graustein 定理指出：

两条平面正则曲线具有相同的切线数（turning number）当且仅当它们是正则同伦的。

也就是说，切线数是判断两条曲线能否在不“撕裂”或“折断”的前提下相互变形的拓扑不变量。

推论：

不可能把一个“正向绕一圈”的圆形变形成“反向绕一圈”的圆形。 换句话说，无法在保持正则性的前提下把一个圆“翻转过来”，因为它们的切线数为 $+1$ 和 $-1$，不同。

这一定理将“几何上的连续变形”与“拓扑不变量”之间建立了深刻的联系，是理解曲线同伦分类的核心结果之一。

应用：六面体网格划分（Hexahedral Meshing）

在数值模拟中，六面体网格划分指的是将一个三维形状划分成许多“小立方体”来进行物理计算或几何处理。

定理（Thurston–Mitchell）：

一个genus-0的四边形网格，当且仅当其面数为偶数时，才能作为某个六面体网格的边界。

证明思路概述：

• 在球面上的每一条曲线都可以通过正则同伦变形为一个圆形或“8”字形；
• 将网格的对偶图（dual graph）变形成一系列互不相交的圆和“8”字形；
• 然后通过“收缩”球面来在这些曲线之间插值，逐渐“扫出”一套新的表面；
• 这些表面正好构成一个六面体网格（可能需要补充一些额外结构以使其闭合）。

该构造方式会生成 $O(n^2)$ 个六面体单元（其中 $n$ 为原始网格规模），但在优化算法下可以做到 $O(n)$ 复杂度。

此外，Erickson 的研究表明，该方法还可以推广到任意亏格的情形。

以下是该段内容关于“广义环绕数（Generalized Winding Numbers）”的中文翻译，适合用于博客文章风格：

---

应用：广义环绕数（Generalized Winding Numbers）

环绕数（winding number）表示一条封闭曲线绕某个给定点“缠绕”的次数——它帮助我们判断某个点是在曲线内部还是外部。在真实数据中，曲线往往不是完美封闭的，比如：

• 存在测量噪声；
• 曲线存在小的缝隙或不连续。

但即使在这种情况下，我们仍然希望判断哪些点是在“里面”或“外面”。

解决方法：

我们可以通过累加曲线对某点的“有符号投影长度”或“有符号面积”，得到一个小数形式的“广义环绕数”（fractional winding number）。

优点：

• 虽然结果不再是整数，但它仍然很好地反映了“内”与“外”的概率；
• 通过设定一个阈值（threshold），我们可以在嘈杂数据中稳健地区分内外区域。

应用场景包括：

• 提取水密网格（watertight mesh）；
• 四面体网格划分（tetrahedral meshing）；
• 实体布尔操作（Constructive Solid Geometry, CSG），如并集、交集、差集等。

空间曲线

一条参数化空间曲线是如下映射：

\[\gamma: [0, L] \to \mathbb{R}^3\]

其中：

• 定义域：实直线上的闭区间 $[0,L]$（通常表示弧长或时间参数）
• 值域：三维欧氏空间中的点集 ${\gamma(t) \mid t \in [0,L]}$

曲线的微分 $ \mathrm{d}\gamma $ 实现了切空间的线性映射：

\[\mathrm{d} \gamma: T_t\mathbb{R} \to T_{\gamma(t)}\mathbb{R}^3\]

推前映射（Pushforward）

推前映射 $ d\gamma $ 将定义在参数域上的向量场 $ X $ 推前（”拉伸”）到三维空间中的曲线切向量场：

\[\mathrm{d} \gamma: T_t\mathbb{R} \to T_{\gamma(t)}\mathbb{R}^3\]

这一操作是微分几何中切映射的特例，也是雅可比矩阵在曲线情形下的具体表现。

具体构造步骤

设曲线 $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 和参数域上的向量场 $ X = a(t)\frac{\partial}{\partial t} $，则：

1. 坐标微分计算：

   \[\mathrm{d}\gamma = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) dt\]

2. 推前映射作用：

   \[\mathrm{d}\gamma(X) = a(t) \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) \in \mathbb{R}^3\]

   几何意义：将参数速度 $ a(t) $ 转换为物理空间速度向量

Curvature （曲率） and Torsion (扭率？)

平面上的曲率描述曲线的弯曲程度，而在空间中，还包括torsion，描述扭曲的程度。

Frenet标架与Frenet-Serret方程：空间曲线的局部坐标系

对于正则空间曲线 $\gamma(s)$（弧长参数化），其Frenet标架由三个单位正交向量组成：

1. 切向量（Tangent）：

   \(T(s) = \gamma'(s)\) 方向：曲线瞬时运动方向

2. 法向量（Normal）：

   \(N(s) = \frac{T'(s)}{\|T'(s)\|} = \frac{\gamma''(s)}{\kappa(s)}\) 方向：指向曲率中心

3. 副法向量（Binormal）：

   \[B(s) = T(s) \times N(s)\]

   方向：垂直于密切平面，构成右手系

Frenet-Serret

Frenet标架沿曲线的演化由曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 完全控制，矩阵形式：

\[\frac{d}{ds} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\kappa & 0 \\ \kappa & 0 & -\tau \\ 0 & \tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix}\]

几何解释

方程	物理意义	类比
$ T’ = \kappa N $	切向变化率 ⇒ 弯曲强度	离心力指向曲率中心
$ N’ = -\kappa T + \tau B $	法向变化由弯曲和扭转共同作用	科里奥利力效应
$ B’ = -\tau N $	副法向变化率 ⇒ 纯扭转效应	螺旋进

空间曲线基本定理

和平面一样，对于给定的连续函数 $\kappa(s) > 0$ 和 $\tau(s)$，存在唯一（刚体运动意义下）的弧长参数化空间曲线 $\gamma(s)$，使得：

• $\kappa(s)$ 是该曲线的曲率
• $\tau(s)$ 是该曲线的挠率

唯一性：两条曲线若具有相同的 $\kappa(s)$ 和 $\tau(s)$，则仅相差一个刚体变换（旋转+平移）

曲线总结

描述曲线的方式有很多种，例如代数方式（algebraic curves）等。

在微分几何中，最常用的方式是使用参数化曲线，因为它可以通过对参数化函数求导数来提取许多关键的局部几何量：

• 切向量、法向量、双法向量（组成 Frenet 框架）
• 曲率、挠率（curvature, torsion）

此外，还有几个重要的概念：

• 嵌入（embedded） vs. 沉浸/正则（immersed / regular）：描述曲线是否自交、是否处处有定义良好的导数。
• 切线数（Turning Number）：单位切向量映射到单位圆的“度数”。
• 环绕数（Winding Number）：曲线绕某个点的“度数”。

最后，微分几何中的一个重要结论：

平面/空间曲线的基本定理： 只要知道一条曲线的曲率（和挠率）函数，就可以在刚体运动不变的意义下唯一确定这条曲线的形状。