DDG Smooth Curvatures

July 05, 2025

2025   ·   Geometry     ·   DDG  

原课件来自：https://brickisland.net/ddg-web/

Curvature

DDG课程里面无数次的提到了曲率，就像某剧里的经典场景一样反复出现，莉香总说”希望这是最后一次”，而我们也总以为这该是最后一次介绍曲率了。

曲率是描述几何形状弯曲程度的核心概念，它不仅帮助我们理解物体的形状，更在众多领域发挥着关键作用。在物理学中，曲率解释了从微观分子到宏观宇宙的运行规律；在计算机图形学中，它是三维建模和动画模拟的基础；而在宇宙学中，爱因斯坦正是通过曲率来描述时空的本质特性。

平面曲线的曲率

曲率（Curvature）是描述平面曲线在某一点处弯曲程度的几何量，其数学定义为：

\[k(s):=<N(s),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}T\left( s \right) > \\ =<N(s),\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}s^2}\gamma \left( s \right) >\]

等价定义

若曲线以角度 $ \theta(s) $ 表示切向量的倾斜角，则曲率也可表示为：

\[\kappa(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\]

即“单位弧长内角度的变化率”。

Frenet-Serret equation

《DDG (13): Smooth Curves》介绍过的Frenet-Serret：曲率$\kappa$ 和挠率 $\tau$完全决定了曲线的形状。矩阵形式：

\[\frac{d}{ds} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\kappa & 0 \\ \kappa & 0 & -\tau \\ 0 & \tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix}\]

这里，$ N(s) = \frac{T’(s)}{|T’(s)|} = \frac{\gamma’‘(s)}{\kappa(s)} $，法线的方向指向曲率中心。

曲面曲线的曲率

当曲线位于某个曲面上时，我们可以采用另一种分解方式：法曲率（normal curvature）和测地曲率（geodesic curvature），它们分别描述曲线在曲面中的“弯曲”行为。

法曲率（Normal Curvature）

衡量曲线在曲面法向的弯曲程度，即曲线如何“贴合”曲面的形状。

\[\kappa_n = \langle N_M, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} \rangle\]

其中：

  • $ N_M $ 是曲面的单位法向量（不同于曲线的Frenet法向量！）
  • $ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} $ 是曲线的曲率向量

几何意义：

  • 法曲率反映曲线沿曲面法向的弯曲，与曲面的局部几何直接相关。
  • 若曲线是曲面的“法截线”（由法平面切割曲面得到），则其曲率就是法曲率。

测地曲率（Geodesic Curvature）

衡量曲线在曲面切平面内的弯曲程度，即曲线如何“偏离”曲面的测地线（最短路径）。

\[\kappa_g = \langle B_M, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} \rangle\]

其中：

  • $ B_M = T \times N_M $ 是曲面的副法向量（由曲线切向量和曲面法向量定义）

几何意义：

  • 测地曲率刻画曲线在曲面内部的“内在弯曲”，与曲面的嵌入方式无关。
  • 测地线（曲面的“直线”）的测地曲率 $ \kappa_g = 0 $。

曲率分解关系

曲面的总曲率 $ \kappa $ 可分解为法曲率和测地曲率的组合：

\[\kappa^2 = \kappa_n^2 + \kappa_g^2\]

这一分解类似于向量的正交分解，其中：

  • $ \kappa_n $ 依赖曲面的形状（外在性质）。
  • $ \kappa_g $ 仅依赖曲面的内在几何（如度量）。

好比你在山区开车，$ \kappa_n $体现了是弯曲的地势，而$ \kappa_g $则是你对方向盘的操作。

Weingarten Map

Weingarten映射 $ \mathrm{d}N $ 是高斯映射 $ N $ 的微分，描述曲面法向量沿切方向的变化：

  • 输入：切向量 $ X \in T_pM $
  • 输出：法向量的变化量 $ \mathrm{d}N(X) $，且 $ \mathrm{d}N(X) \in T_pM $（因为单位法向量的变化必正交于自身）

几何解释：

将曲面上沿 $ X $ 的微小移动，映射为球面 $ S^2 $ 上法向量的切向变化（如图）。

\[dN: T_pM \to T_pM\]

这是一个线性算子，称为形状算子（Shape Operator），它将曲面在某点的切空间中的向量，线性地映射到该点法向量的变化方向。在几何上，这个映射有一个直观的解释：当我们把曲面在一点附近的所有切方向对应的法向量变化绘制在单位球面 $ S^2 $ 上时，这些变化量会形成一个椭圆。这个椭圆的长短轴方向就是曲面的主方向，而半轴长度则对应主曲率，分别描述了曲面在该点处弯曲最剧烈和最平缓的方向及其程度。

法曲率与主曲率

法曲率（Normal Curvature）

定义：给定曲面上的曲线，其法曲率衡量曲线在曲面法向的弯曲程度：

\[\kappa_N(X) := \frac{\langle df(X), dN(X) \rangle}{| df(X)|^2}\]

法曲率 $\kappa_N(X)$ 是曲面 $M$ 上沿切方向 $X$ 的弯曲程度的度量，其几何定义为：

  1. 在点 $p \in M$ 处，取切向量 $df(X) \in T_pM$ 和曲面法向量 $N$。
  2. 用由 $df(X)$ 和 $N$ 张成的平面（称为 法截面）切割曲面，得到一条平面曲线 $\gamma$。
  3. 该曲线 $\gamma$ 在 $p$ 点的曲率即为法曲率 $\kappa_N(X)$。

主曲率（Principal Curvatures）

定义：法曲率的极值 $ \kappa_1 $ 和 $ \kappa_2 $，对应正交的主方向 $ X_1 $、$ X_2 $。

  • 数学上，是Weingarten映射 $ dN $ 的特征值：

    \[dN(X_i) = \kappa_i df(X_i)\]

Shape Operator

形状算子 $ S $ 是一个线性映射，将切向量 $ X $ 映射为法向量 $ N $ 的变化量在切平面上的投影：

\[df(SX)=dN(X)\]

形状算子的特征值与特征向量直接给出曲面的主曲率和主方向：

  • 主方向 $ X_1, X_2 $：$ S $ 的特征向量，即法向量变化最剧烈/平缓的方向。
  • 主曲率 $ \kappa_1, \kappa_2 $：$ S $ 的特征值，表示沿主方向的弯曲程度。

数学表达：
\(S(X_i) = \kappa_i X_i\)

非对称性与正交性

  • 非对称性：$ S $ 的矩阵表示在标准坐标系中通常不是对称矩阵。
  • 度量正交性：主方向在曲面内蕴度量 $ g $ 下正交（$ g(X_1, X_2) = 0 $），但在 $ \mathbb{R}^3 $ 中未必正交。

形状算子 $ S $ 的非对称性导致 Weingarten 映射将切平面的单位圆扭曲为椭圆。

例子（斜圆柱面）：

对于圆柱面 $ f(u,v) = (\cos u, \sin u, v) $：

  • df：

    \[df = [ (-\sin u, \cos u, 0) \,\, (0, 0, 1) ]\]
  • N：法向量 $ N = (\cos u, \sin u, 0) $。

  • dN：

    \[dN = [ (-\sin u, \cos u, 0) \,\, (0, 0, 0) ]\]
  • 形状算子：
    由 $ dN = df \cdot S $，解得 $ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} $，对应主曲率 $ \kappa_1 = 1 $（圆周方向）和 $ \kappa_2 = 0 $（直线方向）。

Umbilic Points

脐点是曲面上主曲率相等的点，即满足 $ \kappa_1 = \kappa_2 $。

  • 典型例子：
    • 球面上所有点均为脐点（$ \kappa_1 = \kappa_2 = 1/R $）。
    • 平面上的点也是脐点（$ \kappa_1 = \kappa_2 = 0 $）。

主曲率线网

  • 定义：沿着曲面“最弯”或“最平”方向（主方向）画出的曲线。
  • 特点：
    • 每条线代表一个主方向（κ₁或κ₂方向）。
    • 整个曲面的主曲率线构成网状结构，称为主曲率线网。

主曲率线的三种情况

  1. 终止于脐点（分离线）
    • 脐点是主曲率相等的点（如球面上所有点都是脐点）。
    • 分离线像“分界线”，将曲面分成规则区域（如椭球面被分成四块）。
  2. 闭合循环
    • 主曲率线首尾相连（如圆柱面的竖直直线或水平圆圈）。
  3. 无限延伸或螺旋
    • 多数曲面中，曲率线既不停下也不闭合，而是复杂延伸（如马鞍面）。

Gaussian and Mean Curvature

  • 高斯曲率（Gaussian Curvature）：
    $ K = \kappa_1 \kappa_2 $

  • 平均曲率（Mean Curvature）：
    $ H = \frac{1}{2} (\kappa_1 + \kappa_2 ) $

几何意义

曲率类型 描述 示例场景
高斯曲率 K 曲面局部面积的”伸缩比” - 球面：$ K > 0 $（所有点相同）
- 圆柱：$ K = 0 $
- 马鞍面：$ K < 0 $
平均曲率 H 曲面局部朝向的”平均弯曲程度” - 最小曲面：$ H = 0 $（如肥皂膜）
- 球面：$ H = 1/R $

关键特性

  • 高斯曲率是内蕴性质（仅依赖曲面本身的度量，与外部空间无关）
  • 平均曲率是外蕴性质（依赖曲面在空间中的嵌入方式）

与算子关系

  • 高斯曲率 $ K = \det(S) $（形状算子的行列式）
  • 平均曲率 $ H = \frac{1}{2} \text{tr}(S) $（形状算子的迹）

局部几何的偏离

高斯曲率 $ K $ 直观表达了曲面局部与欧氏平面 ($ \mathbb{R}^2 $) 的差异：

\[K \propto 1 - \frac{|B_g|}{|B_{\mathbb{R}^2}|}\] \[|B_g| = \pi\epsilon^2 \left(1 - \frac{K}{12}\epsilon^2 + O(\epsilon^4)\right)\]
  • $ B_g $：曲面上半径为 $ \epsilon $ 的测地圆（geodesic ball）的面积或周长。
  • $ B_{\mathbb{R}^2} $：欧氏平面中相同半径圆的面积（$ \pi\epsilon^2 $）或周长（$ 2\pi\epsilon $）。
  • 比例关系：高斯曲率 $ K $ 正比于曲面局部几何与平面几何的“偏离程度”。

几何意义

  • $ K > 0 $（如球面）：
    $ |B_g| < \pi\epsilon^2 $，测地圆比平面圆更小（正曲率收缩）。
    例子：地球极区的圆周小于赤道同半径圆。
  • $ K < 0 $（如马鞍面）：
    $ |B_g| > \pi\epsilon^2 $，测地圆比平面圆更大（负曲率扩张）。
  • $ K = 0 $（如平面、圆柱）：
    $ |B_g| = \pi\epsilon^2 $，局部与欧氏几何一致。

为什么是内蕴性质

高斯曲率 $ K $ 仅依赖曲面的度量（第一基本形式 $ g $），与外部空间嵌入无关。例如：

  • 圆柱与平面：局部度量相同（$ K=0 $），尽管圆柱在三维空间中“看起来”弯曲。

Gauss-Bonnet Theorem

对于封闭、紧致、可定向的曲面 $ M $，其总高斯曲率与欧拉示性数 $ \chi $ 满足：

\[\int_M K \, dA = 2\pi \chi\]

其中：

  • $ K $ 是高斯曲率（局部弯曲）。
  • $ \chi = 2 - 2g $（$ g $ 为曲面genus，即“洞”的数量）。

边界推广：若曲面有边界 $ \partial M $，则：

\[\int_M K \, dA + \int_{\partial M} \kappa_g \, ds = 2\pi \chi\]
  • $ \kappa_g $ 为边界曲线的测地曲率。
  • 此时 $ \chi = 2 - 2g - b $（$ b $ 为number of boundary components）。

几何意义

  • 全局拓扑约束局部几何：无论曲面如何弯曲，总曲率始终由拓扑（欧拉示性数）决定。
  • 边界贡献：边界上的“转弯”补偿内部曲率（如平面圆盘的总边界曲率为 $ 2\pi $）。

总平均曲率

闵可夫斯基（Minkowski）定理指出：对于封闭凸曲面 $ M \subset \mathbb{R}^3 $，其总平均曲率满足以下不等式：

\[\int_M H \, dA \geq \sqrt{4\pi A}\]

其中：

  • $ H $ 为平均曲率（$ H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2) $）
  • $ A $ 为曲面面积

I & II Fundamental Form

第一基本形式 $ I $ 是曲面的黎曼度量 $ g $，描述曲面上的内蕴几何（长度、角度、面积）：

\[I(X, Y) = g(X, Y) = \langle df(X), df(Y) \rangle\]

其中 $ df $ 是曲面的微分映射，$ X, Y $ 为切向量。

第二基本形式 $ II $ 描述曲面在空间中的外蕴弯曲，通过法向变化量化：

\[II(X, Y) = \langle dN(X), df(Y) \rangle\]

其中 $ N $ 为单位法向量，$ dN $ 为 Weingarten 映射。

与法曲率的关系：

\[\kappa_N(X) = \frac{II(X, X)}{I(X, X)}\]

即，法曲率可以看作是第二基本形式 $II$ 与第一基本形式 $I$ 的比值。而高斯曲率虽然表面上依赖于 $II$，但其实借助结构方程（Gauss–Codazzi–Mainardi 方程），可以将第二基本形式完全表示为 第一基本形式及其导数 的函数。这也正是为什么：

你无法在不产生拉伸或压缩的情况下，将地球的表面（球面）完整地摊平成平面（地图总会带有畸变）。



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