DDG Laplace | Guowei Lu

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Laplace-Beltrami

概述

Laplace-Beltrami算子（简称”Laplacian”）是普通Laplacian算子向弯曲流形（curved domains）的推广，通常用大写Delta（$\Delta$）或Nabla平方（$\nabla^2$）表示。本质上是描述标量场（scalar field）强度变化率的微分算子。对于一个定义在流形上的标量函数$u$，$\Delta u$衡量的是该函数在某点处的值与周围邻域平均值的差异程度。

应用领域广泛：

物理模拟：描述热传导、波动等物理现象
图论/网络分析：图Laplacian是网络结构研究的基础工具
机器学习：在半监督学习和流形学习中发挥关键作用
几何处理：曲面编辑、参数化等核心算法的基础

算法优势：将复杂问题转化为稀疏线性代数问题，可以利用现有高效算法和代码库快速求解。

Laplacian是Hessian的迹（trace），反映了函数在不同方向上的平均曲率。

物理中的拉普拉斯：从扩散到振动

热传导方程中，拉普拉斯算子描述的是“空间不平衡”：
\[\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u\]
表示温度会沿着拉普拉斯梯度扩散，趋向于平衡。系统在长时间演化后达到稳态，即 $\Delta u = 0$，这就是拉普拉斯方程。
波动方程则引入了时间的二阶导数：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u\]
此时，拉普拉斯算子提供了“回复力”，使得系统发生周期性震荡。这是一个守恒系统，能量在动能与势能之间来回转换，而不像热方程那样耗散。

几何中的拉普拉斯：从曲率到频率

在微分几何中，拉普拉斯算子用于描述曲面的曲率特性。对于一个嵌入在三维空间中的曲面，其位置函数 $f$ 满足：
\[\Delta f = 2H N\]
其中 $H$ 是平均曲率，$N$ 是法向量。这表明：拉普拉斯算子作用在位置函数上会得到曲率向量，是计算几何中提取曲率信息的有效工具。
拉普拉斯算子具有等距不变性（isometry invariance）：即使形状发生了不拉伸的弯曲（如人体模型摆出不同姿势），拉普拉斯谱保持不变。这使其成为几何形状比较与匹配的重要工具。
在频率分解中，拉普拉斯算子的本征函数（满足 $\Delta \phi = \lambda \phi$）构成了曲面上函数空间的正交基底，类似于傅里叶变换。这些本征函数可以理解为几何频率，其对应的本征值 $\lambda$ 表示振荡强度，从而可以用于形状分析、滤波、压缩、特征提取等任务。

$\mathbb{R}^n$ 空间中的实例解析

在$n$维欧氏空间$\mathbb{R}^n$中，对于一个二阶可微的实值函数$u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，其Laplacian定义为函数在各个坐标轴方向上的二阶偏导数之和：

$\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} u$,

特别地，在二维情况下可表示为：

$\Delta u (x,y)= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,y) + \frac{\partial^2u}{\partial y^2}(x,y)$

考虑函数$u_1(x,y) = -x^2 - 2y^2$

计算过程：

\[\frac{\partial u_1}{\partial x} = -2x \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2} = -2\] \[\frac{\partial u_1}{\partial y} = -4y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} = -4\]

因此：

\[\Delta u_1 = \frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} = -2 + (-4) = -6\]

物理意义：该结果表示在整个定义域内，函数呈现均匀的”凸起”特性（$\Delta u_1 = -6 < 0$），对应向下开口的抛物面。

图拉普拉斯算子

图拉普拉斯算子 $ L $ 量化图中每个顶点值与其直接邻居平均值的偏离程度。对于顶点 $ i $：

\[(L\mathbf{u})_i = \underbrace{\left( \frac{1}{\deg(i)} \sum_{j \sim i} u_j \right)}_{\text{邻居平均值}} - u_i\]

其中：

$ \deg(i) $ 是顶点 $ i $ 的度数（邻居数量）
$ j \sim i $ 表示所有与 $ i $ 直接相连的顶点 $ j $
$ u_i $ 是存储在顶点 $ i $ 上的标量值（如智力分数）

为什么这是”二阶”算子？

虽然形式上是”平均值减去中心值”，但其本质对应于连续拉普拉斯算子的离散化：

一阶导数的离散形式
边上的差分：

$\nabla u \big|_{(i,j)} = u_j - u_i$ （测量相邻顶点的直接差异）
二阶导数的离散形式

顶点上的拉普拉斯：
\[\Delta u \big|_i \approx (L\mathbf{u})_i = \text{平均值} - u_i\]
这实际上是一阶导数的散度（即梯度的梯度），因此是二阶运算 $\Delta u \approx \frac{u(x+h) + u(x-h) - 2u(x)}{h^2}$。

物理解释

拉普拉斯算子的统一视角

拉普拉斯算子（$\Delta$）在连续和离散场景下具有统一的物理本质：衡量局部偏离平均值的程度。

数学定义：

连续空间：
\[\Delta u(x_0) \propto \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon^2} \left( \frac{1}{|S_\varepsilon|}\int_{S_\varepsilon} u\,dS - u(x_0) \right)\]
离散图论：
\[(Lu)_i = \frac{1}{\deg(i)}\sum_{j\sim i} u_j - u_i\]

几何意义：

$\Delta u > 0$：低于周围平均值（局部凹陷）
$\Delta u < 0$：高于周围平均值（局部凸起）
$\Delta u = 0$：调和状态（完美平衡）

热方程：扩散的动力学

热方程描述了系统趋向平衡的过程：

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u\]

核心机制：

凸起衰减：局部高温区（$\Delta u < 0$）热量向外扩散
凹陷填充：局部低温区（$\Delta u > 0$）吸收周围热量
终态收敛：所有点达到相同值（$\Delta u = 0$）

社交网络类比：

每个节点的值随时间调整，逐步接近邻居平均值
最终整个网络达成共识（连通图情形）
在社交网络的语境下，拉普拉斯算子揭示了一个深刻的群体智能平衡原理

稳态热方程退化为拉普拉斯方程：

\[\Delta u = 0\]

波动方程：弹性的舞蹈

波动方程揭示振动传播规律：

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u\]

动态平衡机制：

超调恢复：高于平均的位置受向下力（$\partial_t^2 u < 0$）
欠调提升：低于平均的位置受向上力（$\partial_t^2 u > 0$）
能量守恒：振动能量在系统中持续转化

三方程的关系图示

热方程 ∂ₜu=Δu
  │ 长时间演化
  ▼
拉普拉斯方程 Δu=0 —— 稳态平衡解
  ▲
  │ 二阶时间扩展
波动方程 ∂ₜ²u=Δu —— 动态平衡系统

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