DDG Discrete Surfaces

原课件来自：https://brickisland.net/ddg-web/

离散曲面模型

在离散微分几何中，曲面主要有两种模型：

单纯形模型（Simplicial） (图左)
- 曲面由simplicial 2-manifolds（单纯形2-流形）构成
- 天然适配discrete exterior calculus（离散外积分）
网格模型（Nets） (图左)
- 曲面由分段整数格（piecewise integer lattices）组成
- 天然适配discrete integrable systems（离散可积系统）

在应用中，单纯形模型更为常见，也是本课程的重点。

单纯形曲面（Simplicial Surface）

简单来说，单纯形曲面可以理解为一个“三角形网格”（triangle mesh）。然而，通过更严谨的定义，我们可以将“三角形网格”与微分几何的概念联系起来。

与光滑曲面类似，单纯形曲面也需要满足一定的正则性条件，以确保其几何性质良好：

拓扑条件（topology）：网格的连通性必须满足流形（manifold）性质。
- 每条边最多属于两个三角形（边界边则属于一个）。
- 每个顶点周围的三角形必须构成一个单连通的环（边界顶点则为路径）。
几何条件（geometry）：顶点的坐标必须构成一个单纯形浸入（simplicial immersion），即局部单射映射，避免自交或退化。

通过这样的定义，离散的三角形网格就能在微分几何的框架下进行严格的数学分析。

抽象单纯形曲面（Abstract Simplicial Surface）

抽象单纯形曲面是指一个满足流形条件的单纯形2-复形（manifold simplicial 2-complex），其定义如下：

基本结构：
- 最高维的单纯形是三角形（2-单纯形）
- 每条边（1-单纯形）必须属于两个三角形（若在边界上则属于一个）
- 每个顶点（0-单纯形）周围的三角形必须构成一个单连通的环（边界顶点则为路径）
数学表示：通常记作 $ K = (V, E, F) $，其中：
- $ V $：顶点集合
- $ E $：边集合
- $ F $：面（三角形）集合

核心思想：抽象单纯形曲面仅描述连接关系（connectivity），不涉及具体的几何形状或空间嵌入。这种纯粹的拓扑结构为后续引入几何映射（如单纯形浸入）提供了基础框架。

单纯形映射（Simplicial Map）

单纯形映射的数学核心在于定义域的构造。我们需要明确：抽象单纯形复形本身仅包含离散的顶点、边和面（作为集合的子集），但映射 $ f $ 需要作用于整个几何化的“曲面”上，包括单纯形内部的点。以下是关键步骤：

从抽象复形到几何载体

抽象单纯形复形 $ K = (V, E, F) $ 仅描述连接关系（如“顶点 $ v_1 $ 和 $ v_2 $ 通过一条边相连”）。
但映射 $ f $ 需要处理的是每个单纯形（如三角形）内部的点，而不仅仅是顶点。

重心坐标的作用

通过重心坐标 $ (t_0, t_1, t_2) $，我们将每个抽象三角形 $ \sigma = {v_i, v_j, v_k} $ 关联到一个标准单纯形（即二维空间中的单位三角形）：
\[\sigma \mapsto \left\{ (t_0, t_1, t_2) \mid t_0 + t_1 + t_2 = 1, \, t_i \geq 0 \right\}\]
例如：顶点 $ v_i $ 对应 $ (1, 0, 0) $，边 $ v_i v_j $ 对应 $ (t, 1-t, 0) $，三角形内部点则为 $ (t_0, t_1, t_2) $。

定义域

定义：单纯形映射 $ f $ 的定义域，是通过把抽象三角网格的每个三角形”撑开”成标准三角形后，再把它们按照原来的连接方式粘起来形成的连续曲面。

两步构造法：

无交并（Disjoint Union）
- 把网格的每个三角形都当作一个独立的”纸片”
- 此时相邻三角形虽然共享边，但这些边还是分开的（就像两片没粘好的折纸）
沿共享边粘合（Gluing）
- 把那些在抽象网格中本应相连的边（如图中的边jk）严格对齐粘合
- 粘合规则：共享边的对应点必须完全重合（比如两个三角形的中点要粘在同一个位置）

核心思想：单纯形映射的域是抽象复形的“几何实现”，通过重心坐标和粘合操作，将离散的组合结构转化为连续的几何对象。这一过程是离散微分几何中模拟光滑曲面的关键步骤。

离散微分（Discrete Differential）

离散映射 $ f $ 的性质
- $ f $ 是一个离散的、$ \mathbb{R}^n $-值的 0-形式，即它为每个顶点 $ i $ 赋予一个坐标向量 $ f_i \in \mathbb{R}^n $。
离散微分 $ df $ 的定义
- $ df $ 是 $ f $ 的离散外导数，作为 1-形式，它为每条有向边 $ ij $ 赋予一个值：
  $(df)_{ij} := f_j - f_i$
- 几何解释：$ (df)_{ij} $ 就是连接顶点 $ i $ 和 $ j $ 的边向量（从 $ f_i $ 指向 $ f_j $）。
与光滑理论的类比
- 在光滑曲面中，微分 $ df $ 作用于切向量 $ X $，输出方向导数 $ df(X) $。
- 在离散情况下，边 $ ij $ 可视为“离散切向量”，而 $ (df)_{ij} = f_j - f_i $ 直接给出了该方向的变化量。
反对称性
- 对反向边 $ ji $，有：
  \[(df)_{ji} = f_i - f_j = - (df)_{ij}\]
  这与经典微分几何中 1-形式的定向一致性一致。

若将 $ df $ 视为光滑 1-形式的离散版本，则：

\[(df)_{ij} \approx \int_{\sigma_{ij}} df = f_j - f_i\]

离散微分 $ df $ 用简单的边向量 $ f_j - f_i $，在离散网格上复现了光滑微分的关键性质。

Immersion, Discrete Immersion与Simplicial Immersion

参数化曲面 $ f $ 是浸入，若其微分 $ df $ 处处非退化（即 $ df(X) = 0 $ 当且仅当 $ X = 0 $）。

几何意义：

曲面无“折叠”或“退化”区域，保证切空间处处维数正确。
是定义曲率、法向量等微分量的基础条件。

离散浸入（Discrete Immersion）

问题：

若仅要求离散微分 $ df $ 的边向量非零（即边长 $ |f_j - f_i| > 0 $），仍可能丢失光滑浸入的关键性质。

分支点（Branch Points）：

在左边的离散网格中，围绕顶点 $0$ 的三角形拼接得很好，如果你沿着 $0$ 走一圈，刚好走完一次，总角度是 $2\pi$。
在右边的映射图中，通过映射 $f$，这些点被映射到 $f_0, f_1, \dots, f_9$。现在围绕 $f_0$ 的面 会绕中心多转几圈，即围绕 $f_0$ 的总角度大于 $2\pi$。
这意味着这个映射在 $f_0$ 处是 locally many-to-one（局部多值），在离散域中绕 $f_0$ 走一圈，映射后会绕 $f_0$ 转多圈。这正是所谓的 branch point（类似复分析中全纯函数出现 $z \mapsto z^n$ 的情形）。

单纯形浸入（Simplicial Immersion）

修正定义：

要求单纯形映射 $ f $ 是局部单射（locally injective），即每个顶点邻域（star）在映射下无重叠或翻转。
等价条件：
- 每个顶点邻域的三角形在 $ \mathbb{R}^n $ 中嵌入（无自交或退化）。
- 所有三角形面积非零，且相邻三角形法向量方向一致。

示例：

合法：两个相邻三角形共享边，且张开角度 $ \theta \in (0, 2\pi) $。
非法：
1. 边长和面积为0
2. dihedral角度为0
3. 不满足locally injective

必要非充分条件：
边长、面积、角度非零仅是单纯形浸入的必要条件，但还需局部单射性。

离散高斯映射（Discrete Gauss Map）

定义：
对于离散浸入曲面，高斯映射即为每个三角形的单位法向量 $ N_f \in \mathbb{R}^3 $（属于对偶离散0-形式）。

几何表现：

将每个三角形法向量可视作单位球面上的点（如图）。
连接相邻法向量的弧线对应于共享边的正交法向族（即所有包含该边的三角形的法向量在球面上的轨迹）。

局限性：

仅定义在三角形面片层级，无法直接给出顶点或边的法向。

顶点法向的传统问题

均匀平均面法向：$ N_v = \frac{1}{ F(v) } \sum_{f \in F(v)} N_f $
- 问题：结果依赖网格剖分密度，几何意义不明确（如图中不同细分导致法向偏移）。

基于向量面积的离散法向（Discrete Vector Area）

光滑理论回顾：
向量面积 $ \int_\Omega N \, dA = \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} f \times df $。

离散版本：

对顶点 $ v $ 的邻域 $ \Omega $，积分 $ N \, dA $ 转化为对邻域边界的求和：
\[\frac{1}{3} \int_\Omega N \mathrm{d}A = \frac{1}{6} \int_{\partial \Omega} f \times \mathrm{d}f = \frac{1}{6} \sum_{ij \in \partial \Omega} \int_{e_{ij}} f \times \mathrm{d}f\] \[N_v = \frac{1}{2} \sum_{ij \in \partial \Omega} f_i \times f_j\]
关键性质：
- 与顶点坐标 $ p $ 无关（仅依赖邻域顶点位置）。

其他自然定义

面积加权：适合需要物理精确性的场景（如曲率计算）。
角度加权：适合几何处理（如网格平滑、去噪），因其对网格质量不敏感。

Discrete Exterior Calculus on Curved Surfaces

光滑曲面：外微积分在 $ \mathbb{R}^n $ 中定义后，通过调整 霍奇星算子（Hodge star） 推广到弯曲曲面，该算子编码了几何信息（长度、角度、面积等）。
离散曲面：单纯形曲面（如三角网格）的每个面片本身是平的，因此可直接沿用 $ \mathbb{R}^2 $ 中的离散霍奇星算子公式，无需修改！

我们可以直接将平面中的离散霍奇星算子公式(DDG (11): Discrete Exterior Calculus)应用于曲面上。

内蕴性：霍奇星算子的作用仅依赖于曲面的 内蕴几何（如边长、内角），与曲面如何嵌入 $ \mathbb{R}^3 $ 无关。
平坦性：每个三角形局部是欧几里得的，因此 $ \mathbb{R}^2 $ 的离散公式可直接应用。

关键性质

局部性：每个算子的计算仅依赖相邻单元（如顶点邻域或边邻域）。
兼容性：与离散外导数 $ d $ 结合后，可构建离散拉普拉斯算子等微分工具。
几何无关性：即使曲面在 $ \mathbb{R}^3 $ 中弯曲，公式仍仅用原始边长和内角计算。

离散 Laplace-Beltrami 算子

在光滑曲面中，Laplace-Beltrami 算子定义为：

\[\Delta = \star d \star d \phi\]

在离散下，通过组合 $ \star $ 和 $ d $，我们得到著名的 cotan 公式，实现了连续拉普拉斯算子的自然离散化：

\[(\Delta u)_i = \frac{1}{2} \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} (\cot \alpha_{ij} + \cot \beta_{ij}) (u_j - u_i)\]

其中：

$ \mathcal{N}(i) $ 是顶点 $ i $ 的邻接顶点集合，形成$e_{ij}$
$ \alpha_{ij} $ 和 $ \beta_{ij} $ 是边 $ ij $ 的两个对角

Cotan 公式的几何解释

权重意义：$ \frac{1}{2}(\cot \alpha_{ij} + \cot \beta_{ij}) $ 实际上表示边 $ ij $ 的对偶边长
内在性质：只依赖于局部边长和内角，与曲面在空间中的弯曲方式无关
保角性：cotan 权重自然地捕捉了曲面的共形结构

离散曲面的重建问题

在微分几何中，许多几何对象可以通过其微分量唯一确定（需初始条件）：

平面曲线：由曲率函数 + 初始点/方向确定
空间曲线：由曲率和挠率确定
光滑曲面：由第一/第二基本形式确定
凸曲面：由黎曼度量唯一确定

如果给定一个离散高斯映射（即所有三角形法向），能否重建顶点位置？

离散重建算法：

边方向确定：相邻三角形法向 $ N_1 $, $ N_2 $ 的叉积给出共享边方向 $ N_1 \times N_2 $
角度计算：通过边方向的点积计算三角形内角
三角形重建：根据三边方向+内角确定三角形形状（尺度未定）
全局拼接：将所有三角形按共享边匹配，恢复完整网格

光滑情形的局限性

以平面曲线为例：

给定法向场：$ N(s) = (\cos\theta(s), \sin\theta(s)) $
重建问题：需解微分方程 $ \frac{df}{ds} = R_{90^\circ}N(s) $（$ R_{90^\circ} $为旋转矩阵）
关键缺陷：
除非已知弧长参数 $ s $，否则 $ \theta(s) $ 可任意重参数化 → 无穷多解（如图1）

从度量重建曲面

光滑曲面（Cohn-Vossen定理）：

凸光滑曲面由其黎曼度量唯一确定（差一个刚体运动）
度量 $ g $ 编码了曲面的所有内蕴几何（长度、角度、面积等）

离散曲面（Alexandrov-Connelly定理）：

凸多面体由其边长唯一确定
非凸情形不成立：存在不同构的多面体具有相同边长

重建网格算法

Chern等（2018）的”Shape from Metric”方法：

输入：离散度量（所有边长 $ \ell_{ij} $）
核心步骤：
- 构造离散浸入条件（Discrete Immersion）
- 引入离散自旋结构（Discrete Spin Structure）
- 求解非线性优化问题，使边长匹配目标度量
输出：顶点坐标 $ f_i \in \mathbb{R}^3 $

总结：离散微分几何通过单纯形映射和组合结构，在三角网格上重建了光滑曲面的微分几何框架——从离散微分、霍奇星算子到Laplace-Beltrami算子，其核心在于利用边长和内角等内蕴几何量保持微分几何的本质特性。离散情形的独特刚性（如从法向或度量重建曲面）揭示了组合结构与几何的深刻联系，为几何处理算法提供了既严谨又高效的理论基础，也彰显了”离散逼近连续”在计算应用中的强大优势。