DDG Discrete Differential Forms

April 24, 2025

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为什么我们需要 Discrete Exterior Calculus？

经过之前的学习，我们已经理解了 exterior calculus，能够在光滑流形上实现 k-form 下的微分和积分表达，其求解问题则转化为一个关于 differential forms 的微分方程。

但问题在于：

  • 即使是非常简单的微分方程，也往往难以手工求解！（更别说复杂情况了……）
  • 如果这些方程涉及实际测量数据（例如 domain geometry），那么手工求解几乎不可能完成。
  • 因此，我们需要借助计算机来数值逼近这些方程的解。

Discrete Exterior Calculus (DEC) 就是在这种背景下提出的，其核心思路是：

  • 使用 mesh（网格）代替连续的定义域 —— 通常是一个有向的 simplicial complex（单纯形复形）；
  • 使用网格上各 k-simplex 的数值来代替光滑的 differential k-form；
  • 使用稀疏矩阵来代替微分算子 —— 例如，用带符号的邻接矩阵（signed incidence matrix）来表达 exterior derivative（外导数）。

通过这种方式，DEC 可以让我们在任意复杂曲面甚至非欧几何背景下，结构良好地离散化和求解微分形式相关的物理和几何问题。

Basic Operations & Composition of Operators

在上一节我们看到了 DEC 的总体动机，本节我们进一步了解它的基本操作构建和常见算子的组合方式。

如何将光滑形式替换为离散表示

在 DEC 中，我们用下列方式将连续几何中的微分对象转化为离散表示：

  • 使用 oriented simplicial complex（有向单纯形复形）作为离散的计算网格；
  • 将 differential k-form 替换为网格中每个 k-simplex 上的一个数值 —— 这些称为 discrete differential forms；
  • 将微分算子（如 exterior derivative）表示为稀疏矩阵 —— 最常见的就是 signed incidence matrix（带符号邻接矩阵）。

这些操作使得我们可以把原本复杂的几何和物理过程，转换为标准的线性代数问题。

如上图，我们定义四个顶点（vertices）:

  • $ v_0 = 0 $
  • $ v_1 = 1 $
  • $ v_2 = 2 $
  • $ v_3 = 3 $

对应的两个三角形（faces）:

  • $ f_0 = {v_0, v_1, v_2} $
  • $ f_1 = {v_0, v_2, v_3} $

对应的5个 oriented edges:

Edge Orientation Index
$ e_0 $ $ v_0 \rightarrow v_1 $ 0
$ e_1 $ $ v_1 \rightarrow v_2 $ 1
$ e_2 $ $ v_2 \rightarrow v_0 $ 2
$ e_3 $ $ v_0 \rightarrow v_3 $ 3
$ e_4 $ $ v_3 \rightarrow v_2 $ 4

现在通过如上这个例子介绍算子。

基本算子：d₀、d₁ 和 Hodge Star

我们先来看两个最基本的 离散外导数（discrete exterior derivative）矩阵：

d₀：Vertex → Edge

它是一个边对顶点的邻接矩阵，每一行对应一条有向边，每一列对应一个顶点。如果某条边的起点是顶点 $v_i$，终点是 $v_j$，则该行在 $i$ 位置是 $-1$，在 $j$ 位置是 $+1$。

\[d_0 = \begin{bmatrix} -1 & +1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & +1 & 0 \\ +1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & +1 \\ 0 & 0 & +1 & -1 \\ \end{bmatrix}\]

这是离散版本的 gradient（梯度）操作。

d₁：Edge → Face

每一行对应一个三角形（face），每一列对应一条边。每个三角形的边若与其方向一致，则为 $+1$，否 则为 $-1$。

\[d_1 = \begin{bmatrix} +1 & +1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & +1 & -1 \\ \end{bmatrix}\]

这是离散版本的 curl（旋度）操作。

Hodge Star ($\star_k$)

Hodge 星号算子将 primal k-form 映射为 dual (n–k)-form。在离散中，它通常表现为一个 对角矩阵，每一项表示 dual cell 与 primal simplex 之间的比例关系。例如：

  • $\star_0$：顶点对应的 dual 面积；
  • $\star_1$：边的 dual 长度 / 边的原始长度；
  • $\star_2$：三角形面积的倒数。

假设$v_0=(0,1)$， $v_1=(-1,0)$，$v_2=(0,-1)$，$v_3=(1,0)$，则$Area_{f_0} = Area_{f_1} = 1$，因此：

\[\star_2 = \begin{bmatrix} 1.0 & 0 \\ 0 & 1.0 \\ \end{bmatrix}\]

这里，我们假设$e$对应的dual edge $e^\star$的长度为1：

\[\star_1 = \begin{bmatrix} \frac{1.0}{1.414} & & & & \\ & \frac{1.0}{1.414} & & & \\ & & \frac{1.0}{2.0} & & \\ & & & \frac{1.0}{1.414} & \\ & & & & \frac{1.0}{1.414} \\ \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.707 & & & & \\ & 0.707 & & & \\ & & 0.5 & & \\ & & & 0.707 & \\ & & & & 0.707 \\ \end{bmatrix}\]

每个顶点的对偶面积 (dual area) $\approx$ 其相邻三角形面积的 $1/3$ 之和：

\[\star_0 = \begin{bmatrix} 0.6667 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.3333 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6667 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.3333 \\ \end{bmatrix}\]

组合操作：grad、curl、div、Laplacian

借助上面的基本矩阵，我们可以组合出熟悉的微分算子：

  • grad = $ d_0 $：顶点函数 → 边的差值
  • curl = $ \star_2 d_1 $：边上的 1-form → 三角形上的旋度（2-form）
  • div = $ \star_0^{-1} d_0^\top \star_1 $：边上的 1-form → 顶点上的散度（0-form）
  • Laplacian = $ \star_0^{-1} d_0^\top \star_1 d_0 $：离散 Poisson 方程中的主角

定义$f$是一个顶点$v_i$的scalar function：

\[f = \begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0 \\ 2.0 \\ 0.5 \\ 3.0 \\ \end{bmatrix}\]

对应的顶点值如下：

  • $ f(v_0) = 1.0 $
  • $ f(v_1) = 2.0 $
  • $ f(v_2) = 0.5 $
  • $ f(v_3) = 3.0 $

则 $grad = d_0 f$:

\[d_0 f = \begin{bmatrix} -1 & +1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & +1 & 0 \\ +1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & +1 \\ 0 & 0 & +1 & -1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1.0 \\ 2.0 \\ 0.5 \\ 3.0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1(1.0) + 1(2.0) = 1.0 \\ -1(2.0) + 1(0.5) = -1.5 \\ 1(1.0) - 1(0.5) = 0.5 \\ -1(1.0) + 1(3.0) = 2.0 \\ 1(0.5) - 1(3.0) = -2.5 \\ \end{bmatrix}\]

$ curl = \star_2 d_1$:

\[\star_2 d_1 \alpha = \begin{bmatrix} 1.0 & 0 \\ 0 & 1.0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} +1 & +1 & +1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +1 & +1 & +1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1.0 \\ -1.5 \\ 0.5 \\ 2.0 \\ -2.5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0 \\ 0.0 \\ \end{bmatrix}\]

这里需要注意，因为$\alpha = d_0 f$已经考虑了edge的direction，$d_1$只需要求和。同时结果也验证了梯度的旋度总是为零：$\nabla \times (\nabla \phi) = 0$。

关于 divergence 的详细说明

这个算子链：

\[\boxed{\text{div} = \star_0^{-1} d_0^\top \star_1}\]

的含义是：

  1. $\star_1$：将边上的 1-form 映射到 dual edge 上，编码了度量信息；
  2. $d_0^\top$：对应 gradient 的共轭操作，将边的信息“聚合”到每个顶点；
  3. $\star_0^{-1}$：把顶点的聚合值归一化为散度密度（例如除以顶点周围 dual 面积）。

所以这个算子表达的是顶点处的净流出强度，它是 gradient 的 adjoint，符合离散散度的物理意义。

该例子对应的Laplacian:

\[\Delta \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \star_0^{-1} d_0^\top \star_1 d_0 f = \begin{bmatrix} 1.5 \cdot (-1.871) = -2.807 \\ 3.0 \cdot 1.767 = 5.301 \\ 1.5 \cdot (-3.078) = -4.617 \\ 3.0 \cdot 3.181 = 9.543 \\ \end{bmatrix}\]

可见 $v_0$和$v_2$属于hill，流出，而$v_1$和$v_3$属于valley，流入。

因此，在计算物理与几何建模中，DEC把复杂问题简化成了一种线性代数的求解：

\[\boxed{\text{Load a mesh → Build a few matrices → Solve a linear system}}\]

我们已经介绍了 DEC 中的基本算子（如 $ d_0, d_1 $）以及它们之间的组合关系，并用这些离散形式构造了如 grad、curl 和 div 等经典算子。
这些离散算子能够直接作用在网格上的数值对象，比如定义在顶点、边或面上的函数。

但现实问题往往并非一开始就是离散的，而是给定一个 连续的物理场（continuous field） 或偏微分方程模型。
为了将这些连续的数学对象转化为可计算的离散系统，并反过来从离散解中恢复对连续现象的理解，我们就需要两个核心操作：

\[\boxed{\text{Discretization \quad \& \quad Interpolation}}\]

接下来，我们将介绍这两个基本操作在微分形式（differential forms）中的具体方式，以及它们是如何构建起连续与离散之间桥梁的。

Discretization

Basic idea：所谓 Discretization（离散化），本质上就是将一个连续的 $ k $-form 积分到 $ k $-simplex 上。
结果就是一个有限个数值的集合，它代表了连续物理量在离散网格上的表达。

这种方式非常自然地将连续几何信息转换为离散数据，是 DEC 框架的基础。我们来一步步看具体的例子。

Integrating a 0-form Over Vertices

对 0-form（标量函数）来说，”积分” 实际上就是 直接在点上取值。
所以，如果一个 0-form 是 $ f(x, y) = x + y $，那么在顶点 $ v = (1, 2) $ 上的离散值就是： \(f(v) = 1 + 2 = 3\)

这类操作没有方向性，只有采样。

Integrating a 1-form Over an Edge

1-forms 是作用在向量上的线性函数。
要将一个 1-form $ \alpha $ 离散化到一条边 $ e $ 上，就是计算线积分： \(\boxed{ \int_e \alpha }\)

Example:

设
\(\alpha := x y \, dx - x^2 \, dy\)
边从 $ p_0 = (-1, 2) $ 到 $ p_1 = (3, 1) $。

我们可以用参数法：设 \(\vec{p}(t) = (1 - t)p_0 + t p_1 = (-1 + 4t, 2 - t), \quad t \in [0, 1]\)

\[x(t) = -1 + 4t\] \[y(t) = 2 - t\]

求导： \(\vec{p}'(t) = \frac{d\vec{p}}{dt} = (4, -1)\)

代入 $ \alpha $ 得： \(\alpha(\vec{p}(t)) = x(t) y(t)\, dx - x(t)^2\, dy \Rightarrow \text{Evaluate on } \vec{p}'(t) = (4, -1)\)

最终线积分是： \(\int_0^1 \left[ x(t) y(t) \cdot 4 + x(t)^2 \cdot 1 \right] dt = 7\)

同理，我们可以用相同的方法对任意simplicial complex的edge进行积分。

Integrating a 2-form Over a Triangle

2-forms 在二维中可以理解为 密度函数，其离散化就是在三角面片上积分：

\[\boxed{ \int_{\text{triangle}} \omega }\]

比如 $ \omega = x \, dx \wedge dy $，可以通过二维区域积分在每个三角形上得到一个数值。

示例

让我们在 $ \mathbb{R}^2 $ 空间中对一个三角形 $ T $ 进行 differential 2-form 的积分，该三角形的顶点为 $ (0,0) $、$ (1,0) $ 和 $ (0,1) $。

由于 $ T $ 是平坦的，切空间在各处相同，由以下向量张成： \(T_1 = \frac{\partial}{\partial x}, \quad T_2 = \frac{\partial}{\partial y}.\) 在标准的 $\mathbb{R}^2$ 空间中（使用欧几里得度量），它们已经是 orthonormal 的。

步骤 1：在基向量上求值 $\omega$

2-form $\omega$ 对切向量的作用为： \(\omega(T_1, T_2) = 3 \, (dx \wedge dy)(T_1, T_2).\) 根据 wedge product 的定义： \((dx \wedge dy)(T_1, T_2) = dx(T_1)dy(T_2) - dx(T_2)dy(T_1).\) 由于 $dx(T_1) = 1$，$dy(T_2) = 1$，且 $dx(T_2) = dy(T_1) = 0$： \(\omega(T_1, T_2) = 3 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 3.\)

步骤 2：对 $ T $ 进行标量函数积分

$\omega$ 在 $ T $ 上的积分为： \(\int_T \omega = \int_T \omega(T_1, T_2) \, dA,\) 其中 $dA$ 是面积元素。由于 $\omega(T_1, T_2) = 3$ 是常数： \(\int_T \omega = 3 \int_T dA = 3 \cdot \text{Area}(T).\) 三角形 $ T $ 的面积是 $\frac{1}{2}$，因此： \(\int_T \omega = 3 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{\frac{3}{2}}.\)

Orientation and Integration

在对 1-form 和 2-form 进行积分时，方向（orientation）至关重要：

  • 对边来说，正向或反向会改变积分结果的符号

    \[\alpha_{ij} = -\alpha_{ji}\]

  • 对三角形来说，顺时针 vs 逆时针会影响 2-form 的符号

    \[\beta_{ijk} = \beta_{jki}, \beta_{jik} = -\beta_{kij}\]

这也是 DEC 中为什么需要为每个 simplex 明确指定 orientation 的原因。

Discrete Differential $k$-Form



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