DDG Discrete Curves

平面中的离散曲线

在离散微分几何中，离散曲线被定义为一种分段线性参数化曲线，即由一系列点通过直线段连接而成的几何对象。形式上，给定一组有序点 $\gamma_0, \gamma_1, \ldots, \gamma_n \in \mathbb{R}^2$，离散曲线 $\gamma$ 是由这些点依次相连构成的折线。其参数化表示为：

为简化记号，常用 $\gamma_i$ 表示 $\gamma(s_i)$，即第 $i$ 个顶点的位置。

关键特性有：

1. 分段线性：曲线在每对相邻点之间是直线段，整体呈现折线形态。
2. 连续性与参数化：尽管离散，曲线仍是连续的参数化映射，但与传统光滑曲线的解析表达式不同。
3. 离散微分形式：可通过抽象单纯复形和离散0-形式（顶点坐标）定义，利用Whitney基函数（如“帽子函数”）实现边上的插值。

示例

一个简单的例子是由两段线段组成的L形曲线：

此曲线从点 $(0,0)$ 水平延伸至 $(1,0)$，再垂直延伸至 $(1,1)$。

离散曲线的微分

在光滑曲线的理论中，微分 $d\gamma$ 描述了曲线在每一点的切向量场。对于离散曲线，这一概念可以通过离散外微积分（Discrete Exterior Calculus）自然地推广：

离散曲线的微分 $d\gamma$ 被定义为边向量的集合。对于相邻顶点 $\gamma_i$ 和 $\gamma_j$，其对应的边向量为：

这一表达式直接类比于光滑曲线中微分 $d\gamma = \frac{d\gamma}{ds}ds$ 的离散形式，其中边向量 $(d\gamma)_{ij}$ 取代了连续情形下的切向量 $\frac{d\gamma}{ds}$。

离散切线向量

在光滑曲线中，切线方向由导数 $\frac{d\gamma}{ds}$ 给出。对于离散曲线，我们通过归一化边向量来定义切线，但需要特别注意离散几何与连续几何的关键差异：

对于离散曲线的每一条边 $ij$（连接顶点 $\gamma_i$ 和 $\gamma_j$），其离散切线向量 $T_{ij}$ 定义为：

$ T_{ij} = \frac{(d\gamma){ij}}{|(d\gamma){ij}|} = \frac{\gamma_j - \gamma_i}{|\gamma_j - \gamma_i|}. $

这表示该边的单位方向向量，与光滑曲线中切线的局部方向作用类似。

离散法向量

在平面离散曲线中，法向量的定义延续了光滑曲线中的直观几何思想——通过切线旋转90度得到。然而，离散特性为其带来了独特的性质和应用限制。对于离散曲线的每一条边 $ij$，其离散法向量 $N_{ij}$ 由对应的单位切线 $T_{ij}$ 逆时针旋转90度生成：

在二维平面中，若 $T_{ij} = (a, b)$，则法向量为 $N_{ij} = (-b, a)$。

正则离散曲线与离散浸入

在离散微分几何中，为了保证离散曲线具有与光滑曲线类似的良好性质，我们需要引入正则性（regularity）的概念。对于光滑曲线 其正则性要求等价于参数化是局部单射的（无自交或尖点）。

离散化后，直接推广会面临新问题：

1. 边长度非零：
   • 若边长度为零（$\gamma_i = \gamma_j$），则微分 $(d\gamma)_{ij} = 0$，破坏了正则性。
   • 但仅此条件不足，因相邻边可能形成零夹角。
2. 局部单射性：
   • 更强的要求是曲线作为映射是局部单射的，即排除以下情况：
     • 边重叠（如两条边共线且部分重合）。
     • 顶点自交（如一条边的端点穿过另一条边）。

离散曲率

在《DDG(2)：Curvature》已经提到了如下的定义：

离散平面曲线的基本定理

对于正则离散平面曲线，在刚体运动（平移/旋转）意义下，曲线由其边长度序列 ${l_{ij}}$ 和转角序列 ${\theta_i}$ 唯一确定。

其中：

• 边长度 $l_{ij} = |\gamma_j - \gamma_i|$
• 转角 $\theta_i$ 为相邻边 $ (i-1,i) $ 与 $ (i,i+1) $ 的有向夹角（逆时针为正）。

给定 ${l_{ij}}, {\theta_i}$ 和初始点 $\gamma_0$，按以下步骤重构曲线：

1. 计算累积转角

   从初始方向 $T_0 = (1,0)$ 开始，逐顶点计算边的全局方向角 $\varphi_i$：

   \[\varphi_i = \varphi_{i-1} + \theta_{i-1}, \quad \text{其中} \ \varphi_0 = 0.\]

2. 生成单位切向量

   将方向角转换为单位切向量：

   \[T_i = (\cos \varphi_i, \sin \varphi_i).\]

3. 逐边积分求顶点坐标

   通过累加边长与切向量的乘积得到顶点位置：
   \(\gamma_i = \gamma_{i-1} + l_{i-1,i} \cdot T_{i-1}.\)

示例演示

给定数据：

• 边长度：$l_{01} = 1, l_{12} = 1, l_{23} = 1$
• 转角：$\theta_0 = 0°, \theta_1 = 90°, \theta_2 = 0°$
• 初始点：$\gamma_0 = (0,0)$

重建过程：

1. 计算方向角：

   • $\varphi_0 = 0°$
   • $\varphi_1 = 0° + 0° = 0°$
   • $\varphi_2 = 0° + 90° = 90°$
   • $\varphi_3 = 90° + 0° = 90°$

2. 切向量：

   • $T_0 = (1,0)$
   • $T_1 = (1,0)$
   • $T_2 = (0,1)$
   • $T_3 = (0,1)$

3. 顶点坐标：

   • $\gamma_1 = (0,0) + 1 \cdot (1,0) = (1,0)$
   • $\gamma_2 = (1,0) + 1 \cdot (0,1) = (1,1)$
   • $\gamma_3 = (1,1) + 1 \cdot (0,1) = (1,2)$

最终曲线为直角折线，验证定理正确性。

离散Whitney-Graustein定理

对于局部单射的正则离散平面曲线，其正则同伦类（即在不违反局部单射性的连续变形下的等价类）完全由离散转向数（Discrete Turning Number）决定，完美类比于光滑曲线的Whitney-Graustein定理。

共同策略：

1. 将目标曲线变形为标准参考曲线（如正多边形）。
2. 通过组合两条曲线到参考曲线的路径得到同伦。

离散空间曲线

同理，离散空间曲线是三维空间中的分段线性参数化曲线，由有序顶点序列 ${\gamma_i} \in \mathbb{R}^3$ 通过直线段连接而成，其数学表示为：

离散空间曲线基本定理

在刚体运动（平移+旋转）意义下，正则离散空间曲线由以下数据唯一确定：

1. 边长度 ${l_{ij}}$（替代弧长参数）
2. 顶点曲率 ${\kappa_i}$（相邻边外角）
3. 边挠率 ${\tau_{ij}}$（法向量扭转角）

与光滑理论的类比

曲线重构算法

输入：

• 边长度 ${l_{01}, l_{12}, …, l_{n-1,n}}$
• 顶点曲率 ${\kappa_1, \kappa_2, …, \kappa_{n-1}}$
• 边挠率 ${\tau_{01}, \tau_{12}, …, \tau_{n-1,n}}$
• 初始条件：$\gamma_0 \in \mathbb{R}^3$, 初始标架 $(T_0, N_0, B_0)$

逐边递推：

   for i in range(n):
       # 计算下一顶点位置
       γ[i+1] = γ[i] + l[i] * T[i]
       
       # 曲率旋转：绕当前法向量N旋转κ_i
       R_κ = rotation_matrix(N[i], κ[i])
       T[i+1] = R_κ @ T[i]
       B_temp = R_κ @ B[i]
       
       # 挠率旋转：绕新切向量T[i+1]旋转τ_i
       R_τ = rotation_matrix(T[i+1], τ[i])
       N[i+1] = R_τ @ N[i]
       B[i+1] = R_τ @ B_temp

曲率流

曲率流描述曲线随时间演化，其运动速度由曲率函数决定：

其中 $V(\kappa)$ 是曲率 $\kappa$ 的标量函数，$N$ 为单位法向量。

Length Shortening Flow

长度缩短流是最基础的曲率流，其演化方程由曲线长度的变分直接导出：

其中曲率 $\kappa$ 和法向量 $N$ 共同决定了曲线的收缩速度。

1. 凸性保持
   • 初始凸的曲线保持凸性
   • 非凸曲线会产生拐点（根据Gage-Hamilton定理）
2. 封闭曲线演化
   | 阶段 | 现象 | 数学描述 |
   |——|——|———-|
   | 早期 | 高频振荡快速平滑 | $|\kappa|_{max}$ 递减 |
   | 中期 | 渐近圆形化 | $\text{偏心率} \to 0$ |
   | 末期 | 收敛到圆点 | $\text{面积} \sim O(t_f-t)$ |

Gage-Grayson-Hamilton

质心守恒定理 渐近圆形化（Round Points） 嵌入性保持（Embeddedness）

离散长度缩短流

给定连续方程：

离散化为显式欧拉格式，这里的$\tau$是离散下的$\Delta t$：

最终得到顶点更新公式：

Elastic Flow 弹性流

弹性流以弯曲能最小化为目标，其连续形式能量泛函为欧拉-伯努利能量：

对应的梯度流方程为：

Isometric Elastic Flow 等距弹性流

通过直接调整离散曲率（转角）实现曲线平滑，同时严格保持边长不变。其优势在于：

• 刚性保持：不改变边长度（等距约束）
• 数值稳定性：避免显式处理高阶导数
• 几何直观：曲率缩放对应物理上的”弯曲刚度”调节

曲线还有很多其他的应用，具体可以查看slides以及对应的videos，比如：

1. 弹性杆 (Elastic Rods)
   • 核心量：曲率κ + 挠率τ
   • 能量：$E = \int (\alpha \kappa^2 + \beta \tau^2) ds$
   • 应用：头发/电缆模拟
2. 粘性丝线 (Viscous Threads)
   • 核心量：曲率κ + 黏度η
   • 方程：$\gamma_t = \eta (\kappa N)_t$
   • 特性：拉伸时变细，松弛时回弹
3. 解结算法 (Untangling Knots)
   • 方法：Möbius能量最小化

   • 能量：$E = \iint \frac{1}{

     \gamma(s)-\gamma(t)

     ^2} ds dt$

   • 用途：分子生物学/拓扑优化
4. 排斥曲线 (Repulsive Curves)
   • 核心：几何排斥势 $E = \sum e^{-d_{ij}^2/\sigma}$
   • 优势：避免自交同时保持光滑
5. 烟环流 (Smoke Ring Flow)
   • 方程：$\gamma_t = \kappa B$ (Binormal流)
   • 特性：保持涡丝环量
   • 离散：Hashimoto离散格式
6. 气泡环与墨水晶灯 (Bubble Rings & Ink Chandeliers)
   • 现象：流体-固体耦合中的三维涡环
   • 关键：浸入边界法 + 表面张力模型

总结

• 离散曲线：由顶点序列 ${\gamma_i}$ 和连接它们的直线段（边）构成的分段线性曲线。
• 参数化：$γ(s) = (1-t)γ_i + tγ_{i+1}$，其中 $t \in [0,1]$ 为局部参数。
• 正则性：要求无自交、无退化边（边长 $>0$），且局部单射。
• 长度缩短流：$\gamma_t = -\kappa N$
  • 特性：收缩曲线，凸性保持，封闭曲线收敛到圆点（Gage-Grayson-Hamilton定理）。
• 弹性流：最小化弯曲能 $E = \int \kappa^2 ds$，方程为 $\gamma_t = -(\kappa_{ss} + \frac{1}{2}\kappa^3)N$。
• 等距弹性流：缩放曲率但保持边长不变，适用于刚性变形。