DDG Conformal Geometry

原课件来自：https://brickisland.net/ddg-web/

共形几何

从地图制作的难题说起

你是否曾想过一个问题：我们如何将一颗圆圆的地球，摊平做成一张地图？

这听起来简单，实则是一个困扰了人类几个世纪的几何难题。试着想象一下：如果你拿到一个完整的、饱满的橙子，现在要你把它的皮完整地剥下来，并且不留任何褶皱或撕裂地摊平在桌面上。你会发现，这几乎是不可能的。

这就是地图制作（Cartography）所面临的核心挑战：球面在几何上是“不可展平”的。任何一个试图将球面变为平面的过程，都不可避免地会引入以下一种或多种失真：

距离失真（Distortion of Distances）
面积失真（Distortion of Areas）
角度失真（Distortion of Angles）
形状失真（Distortion of Shapes）

如果你坚持“完全不切割、不撕裂”，那么你必须接受某种形式的变形。历史上所有经典的地图投影法——无论是墨卡托投影、等积投影还是方位投影，都只能保留某些几何属性，而牺牲其他。

例如，墨卡托投影保持了方向和角度（因此非常适合航海），但却严重扭曲了面积——这就是为什么在地图上格陵兰岛看起来比澳大利亚还要大，而实际上后者面积是前者的3.5倍。

那么，有没有一种映射方法，能够至少保证角度是完全正确的呢？

答案是：有，这就是“共形映射”（Conformal Mapping）。

共形映射是一类特殊的几何变换，它能够在每个局部保持角度不变。换句话说，在任何一点处，映射的效果都相当于一个旋转加上均匀缩放，而不会产生“剪切”或“拉扯”式的变形。

为什么偏偏是角度

在了解了地图制作中不可避免的失真之后，我们很自然地会问：在距离、面积、角度等多种几何属性中，为什么数学家与工程师对“保持角度”如此情有独钟？

共形映射之所以成为几何处理的核心工具，并非偶然。它集四大优势于一身：质量高、简化性强、计算高效、理论完备。

1. 质量

“保持角度”这一看似简单的条件，本身就蕴含了极强的正则性。

无限光滑性：任何一个共形映射都自动是无限次可微的。这意味着映射结果极其光滑，不会出现突兀的拐点或畸变。
调和尺度分布：尽管长度会发生缩放，但这种缩放因子在整个区域上的分布是调和函数，满足拉普拉斯方程。这使得缩放是平滑、自然的，而非杂乱无章。

可以说，当你得到一个共形映射时，你得到的已经是一个“质量上乘”的映射了。

2. 简化

在几何分析中，我们总是希望坐标系能尽可能简化问题。

对于曲线，最理想的是弧长参数化，它让曲线的导数直接是单位切向量，极大简化计算。
对于曲面，要实现弧长参数化（即等距映射）几乎是不可能的——除非曲面本身可展平，如圆柱面。

那么，曲面的“次优选择”是什么？答案就是共形坐标。

共形坐标允许曲面上的度量张量（用来测量长度和角度的尺子）在每个点处都只是一个单一的缩放因子，而不是一个复杂的2x2矩阵。你只需要跟踪一个标量函数（尺度函数），而不需要处理一个完整的雅可比矩阵。

这使得许多复杂的曲面微分方程在共形坐标下变得线性化、可求解，让“纸笔演算”成为可能。

3. 效率

从数值计算的角度看，共形映射问题通常可以转化为：

稀疏线性系统
稀疏特征值问题
凸优化问题

这些是数值分析中研究最透彻、求解最高效的问题类型。相比之下，追求“有界失真”或“局部单射”等更复杂的映射目标，往往会导致非线性、非凸的优化问题（如二阶锥规划SOCP），计算成本高昂，难以应用于实时或大规模场景。

共形映射在效率与质量之间取得了绝佳的平衡。

4. 理论保障

共形几何不是一个新兴的、缺乏理论支撑的领域。相反，它背后有超过一个世纪的经典数学理论作为基石：

柯西-黎曼方程将共形条件表述为清晰的偏微分方程。
黎曼映射定理保证了单连通区域共形映射的存在性与唯一性。
单值化定理指出任何曲面都可以共形地映射到三种标准几何之一（球面、欧氏平面、双曲平面），这为许多几何算法提供了典则定义域。

这些坚实的理论为我们提供了强大的保证，例如极值原理、Delaunay性质等，使得算法设计有章可循。

一个非常自然的疑问是：既然无法完美保留所有属性，那为什么选择角度？保留面积不是同样有用吗？

答案是：仅保持面积的映射可以非常“糟糕”！

极度不光滑：面积保持映射甚至不需要是连续的。想象一下漩涡中不可压缩流体的运动：它保持体积（在2D中即面积），但可以产生极其复杂、甚至混沌的变形。
可能性空间过大：满足面积不变的映射家族过于庞大，缺乏结构性。这反而使得寻找一个“优质”的面积保持映射变得异常困难。

就像一池被搅动的水，虽然每个水团的体积不变，但其形状和位置可以变得无比复杂，这显然不是我们想要的地图或参数化结果。

相比之下，角度保持这一约束，自然而然地诱导出了光滑性、结构性和可计算性。

角度–几何的“指纹”

保持角度，看似放弃了对长度和面积的严格控制，实则抓住了局部几何形态最核心的特征。它就像是一个几何形状的“指纹”，在允许整体伸缩的自由度下，唯一地确定了形状的局部相似结构。

这种约束既不过于宽松（如仅保持面积会导致映射极度不规则），也不过于严格（如试图同时保持所有属性通常不可能），而是处于一个“恰到好处”的甜点区，使其成为几何处理中不可或缺的理想工具。

平滑理论

我们看到了二维共形映射的丰富性与灵活性。无论是平面到平面，还是曲面到平面，都存在大量非平凡的共形映射。这自然引出一个问题：在三维或更高维的空间中，共形映射是否同样丰富？

答案出乎意料地否定性的。高维空间中的共形映射具有极强的“刚性”，这由经典的刘维尔定理所揭示。

刘维尔定理

定理（Liouville）：当空间维数 $ n \geq 3 $ 时，任何从 $ \mathbb{R}^n $ 的一个区域到 $ \mathbb{R}^n $ 自身的共形映射，都必然是莫比乌斯变换。

莫比乌斯变换是我们熟悉的球极投影、平移、旋转、缩放和球面反演的复合。在三维空间中，这意味着所有可能的共形映射，其变换模式都已被完全分类，除此之外，别无他物。

这一定理背后的核心思想是：在高维空间中，“保持角度”这一条件要苛刻得多。

平面到平面

映射的微分

要理解共形性，首先需要理解映射的微分（differential）概念。对于一个可微映射 $ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $，其微分 $ df $ 描述了如何将点 $ p $ 处的一个切向量 $ X $ “推前”到像点 $ f(p) $ 处。

几何直观：想象在点 $ p $ 有一个无限小的箭头 $ X $。映射 $ f $ 会将点 $ p $ 移动到 $ f(p) $，同时也会以某种方式拉伸和旋转这个无限小的箭头。这个操作就是 $ df(X) $。
坐标表示：微分 $ df $ 在坐标下就是映射的雅可比矩阵。它包含了所有关于局部伸缩和扭曲的信息。

共形映射的等价定义

共形性有一个非常直观的几何定义：

一个映射是共形的，当且仅当以下两个操作的最终结果相同：

先对一个切向量做旋转，再推前它。

先推前这个切向量，再对它做旋转。

换句话说，映射与旋转操作是可交换的。这意味着，映射在局部所做的唯一事情就是均匀缩放和旋转，而不会产生“剪切”变形。

用复数语言精确刻画

复数为表达提供了最自然的语言。我们将平面视为复平面 $ \mathbb{C} $，点的坐标用复数 $ z $ 表示。复数的乘法 $ z \cdot X $ 天然地表示了对向量 $ X $ 进行旋转和缩放。

于是，我们可以将共形条件精炼为：

考虑一个映射 $ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} $。那么 $ f $ 是共形的，当且仅当它的微分是复线性的，即对于所有切向量 $ X $ 和所有复数 $ z $，满足：
\[df(z \cdot X) = z \cdot df(X)\]

这完美地捕捉了“先旋转缩放再推前”等于“先推前再旋转缩放”的思想。

全纯 vs. 共形

这里有一个重要的术语区分：

全纯函数：是复可微的函数，即导数 $ f’(z) $ 存在。这等价于满足柯西-黎曼方程。
共形映射：是全纯函数，且其导数处处不为零（$ f’(z) \neq 0 $）。

关键点：在导数不为零的点，全纯函数确实是共形的（保持角度且定向）。但在导数 $ f’(z) = 0 $ 的点（称为临界点），角度保持性会被破坏（例如 $ f(z) = z^2 $ 在原点将角度加倍）。因此，共形映射是处处保持角度的全纯映射。

例子：莫比乌斯变换

莫比乌斯变换是共形映射中最重要、最美丽的例子之一。

几何定义：它是保持定向并将圆周和直线映射为圆周或直线的变换。（在复分析中，直线可视为半径为无穷大的圆）。
代数形式：任何莫比乌斯变换都可以写成：
\[z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}\]
其中 $ a, b, c, d $ 是复数，且满足 $ ad - bc \neq 0 $（以保证非退化）。

莫比乌斯变换包括平移、旋转、缩放和球极投影等基本变换的复合。它们是复平面上共形自同构群的主要组成部分，并且在黎曼映射定理中扮演着核心角色。这就像在光线追踪中，光线可以依次从多个不同的反射表面（平面、球面）上反弹，每一次反弹都相当于应用了一次基本的变换。

从莫比乌斯变换到黎曼映射定理

莫比乌斯变换 $ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} $ 描述了整个复平面（或黎曼球面）到自身的共形映射。这类映射非常“刚性”，形式固定，自由度有限。

一个自然的问题是：对于一个任意形状的单连通区域（比如一个扭曲的L形区域），我们能否也找到一个共形映射把它变到单位圆盘呢？

黎曼映射定理（1851）肯定地回答了这个问题：

任何单连通的、非整个复平面的开区域 $U$，都存在一个共形映射（双全纯映射）将其映到单位圆盘 $D$。

这意味着：

共形映射的普遍性：共形映射的存在性远超莫比乌斯变换。除了整体到整体的映射，还有无数从任意区域到标准区域的映射。
与莫比乌斯的联系：定理保证的映射在固定一个点及其旋转方向后是唯一的。而所有从该区域到圆盘的共形映射，都可以由某一个黎曼映射复合上一个单位圆盘到自身的莫比乌斯变换来得到。

简言之：

莫比乌斯变换刻画了对称空间（如圆盘、球面）上的共形自同构。
黎曼映射定理则断言，任何“无洞”的复杂区域，在共形意义下都与单位圆盘等价，从而与这些对称空间共享同样的共形几何内核。

黎曼映射定理将莫比乌斯变换所展现的共形灵活性，推广到了任意形状的领域，奠定了共形几何的基石。

黎曼映射定理从理论上保证了一切单连通区域都能共形映射到单位圆盘，却未告知我们如何具体构造。施瓦兹-克里斯托费尔变换正是弥补这一空缺的利器，它给出了从上半平面到任意多边形区域的显式共形映射公式，其核心是在映射的导数中人为引入特定幂次奇点，以精确“折叠”出多边形的每一个转角。一个经典的例子是从圆盘到正方形的共形映射——该映射可表达为一个椭圆积分，它完美地将圆盘的连续边界“挤压”为正方形的四个直角，在内部保持角度不变，却在顶点处通过导数为零实现90度转折，生动体现了共形映射在光滑与奇异之间的精妙平衡。

离散共形几何

圆填充是离散共形几何中的一个核心概念，它为理解共形映射提供了另一种直观而强大的离散模型。一个圆填充 $ P $ 对应于一个单纯2复形 $ K $，其中每个顶点用一个圆表示，并且若两顶点之间有边相连，则对应的圆外切。

柯贝-安德烈夫-瑟斯顿定理 是这一领域的基石，它指出：每个有限的连通简单平面图 $ K $ 都存在一个对应的圆填充。如果 $ K $ 是极大平面图（即每个面都是三角形），那么该圆填充在莫比乌斯变换和反射下是唯一的。这一定理建立了离散组合结构与连续几何之间的深刻联系。

从计算角度看，圆填充的构造是一个非线性问题，但可以通过简单的迭代算法有效求解。该算法的核心思想是局部调整圆的半径以满足全局的切性条件：对于每个顶点 $ i $，计算其相邻圆当前覆盖的总角度 $ \theta $，然后调整顶点 $ i $ 的圆的半径，使得其相邻圆能恰好覆盖 $ 2\pi $ 的角度。这一过程在欧几里得平面或双曲平面中均可进行。

令人惊叹的是，当三角网格越来越细时，由圆填充定义的离散映射会收敛到经典的连续黎曼映射，从而在离散意义上逼近共形映射。

此外，圆模式 是圆填充的一个推广。在圆模式中，每个圆对应于图的一个面，圆在顶点处相交，并且每条边被赋予一个位于 $ (0, \pi) $ 的相交角。这提供了更灵活的控制，允许圆之间以指定角度相交，而不仅仅是外切，从而能够生成更广泛的离散共形结构。